本文载《巴蜀史志》2020年第5期“四川历史名人”专刊

搜炼古今秦九韶

查有梁

秦九韶：搜炼古今，博采沈奥

秦九韶于宋宁宗嘉定元年（1208），出生在普州（今四川省资阳市安岳县）天庆观街“秦苑斋”。祖父秦臻舜和父亲秦季槱，都是进士。祖父秦臻舜给孙子起名“秦九韶”，“九韶”意为最美好的音乐诗歌；父亲秦季槱给儿子取字为“道古”，意为从古人那里学习道学儒学。

秦九韶博采诸子百家之长，深度发现数学奥妙。他的传奇生平和经典著作《数书九章》就是“搜炼古今，博采沈奥”的典型案例。秦九韶认真学习钻研过祖冲之的著作，包括祖冲之父子艰深的数学著作《缀术》；深入学习和研究过《周易》《道德经》《九章算术》（中国古代的一本数学经典著作）等哲学和数学经典，这是“搜古”。他在40岁之前，对工作和生活中遇到的许多问题，如天文气象、田地测量、工程设计、赋税分配、房屋营建、军旅后勤、市场贸易等，都作为“数学问题”一一解决，并记录下来，这是“炼今”。

秦九韶是一位“大孝子”。宋理宗嘉熙二年（1238），父亲秦季槱去世，秦九韶回到临安（今浙江省杭州市）丁父忧。秦九韶为父亲守孝3年，其间义务设计“西溪桥”，今名杭州“道古桥”；又回安吉州（今浙江省湖州市）改建祖父购置、父亲曾经居住的老住舍；应用数学方法研究赋税负担；参与“多宝塔”遭雷击后的测量修复工程。宋理宗淳祐四年（1244）冬十一月母亲病故，辞官离任，回到湖州丁母忧。为母亲守孝3年，闭门钻研，潜心写作，淳祐七年（1247）完成数学经典著作《数术大略》，明末改为《数书九章》。

秦九韶的《数书九章》，全书约有27万字，其写作模式开创一种“诗文结合”“四言标题”“九章八十一题”——笔者称为“九章写法”。

这种写法与老子的《道德经》写法相似。《数书九章》既体现了“九韶”的意思，有音乐文学美；也包含了“道古”的含义，哲理丰富，数理深奥。

秦九韶纪念馆中的秦九韶汉白玉雕像

《数书九章》序文今译

周代的教育内容有“六艺”（礼、乐、射、御、书、数），数学是其中之一。学者和官员们历来重视、崇尚数学这门学问。为了应用，人们要认识世界的规律，因而产生了数学。数学具有广泛的应用性。从大的方面说，数学可以认识自然、理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务、分类万物。难道容许将数学视为一门浅近的学问吗？

过去，历算家们用筹算推演、制定天文历法，发现自然规律，预测季节变化；用“髀”“矩”测山高河深，用“圭表”量日影，以定时刻与节气。天地如此之大，尚且不能置于数学之外，那么，天地之中各种各样的事物，难道能离开数学吗？

自从“河图”“洛书”，开创发现数学的奥秘；《周易》“八卦”、《九章算术》，在解决错综复杂问题时，显示了数学的精妙细微；“大衍术”在历法计算以及解诸多问题中的应用，使数学的精微作用发挥到极大。数学对于认识人世间各类事物的变化，无所不包。自然界中物质运动的聚散，也不能隐匿于数学之外。古代的圣贤学者很高明，了解许多数学的精微之处，留下的文字却十分简略，使一般人难于领悟其中之奥秘。探究其因，是因为“数学”与“哲学”同样深奥，本质一致，并不是两回事。

汉代离上古并不很远，有张苍、许商、乘马延年、耿寿昌、郑玄、张衡、刘洪等一批数学家和历算家。他们有的精通天文历法，将算理算法传于后世；有的长于用筹运算，计算结果当时就能得到检验。后世的一些学者，把自己看得太高，鄙视前人成就，不虚心学习，不继承发展，使数学这门学问中有的内容几乎断绝失传。只有懂历法的历算家们会乘除运算，但对高深的“开方术”“大衍术”，就不通晓了。官府的会计事务则只会一一累加进行计算。数学家的地位和作用从不被人们所认识，当权人士对此状况也听之任之。算学家只当作工具使用，数学这门学问遭到鄙视也就理所当然了。

可悲啊！这就犹如制造乐器的人，仅仅只能拨弄出乐器的声音，就说这是与天下的知音者一道奏出了美妙悦耳的乐章，难道能够这样说吗？

当今数学之书，计有30余家。天象历法的计算方法，称之为“缀术”（“逼近之术”）；应用于占卜术中的计算有“太乙、六壬、遁甲”，称之为“三式”，这些都称为“内算”，它们的算法是保密的，内传而不外传。《九章算术》所载的内容，就是《周礼》中的“九数”（《九章算术》的九章是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股）；有关测量方位和地形之高、深、远、近的方法，称为“蚩术”，这些都称为“外算”，它们的算法是公开的。“外算”是相对于“内算”而言。“外算”与“内算”在应用上彼此相通，不应视为两种截然不同的算法。

惟独“大衍术”没有载于《九章算术》之中，未见有人能将“大衍术”的算法程序推演出来。历算家在制定历法时，应用“大衍术”进行计算的颇多；如果以为它是“方程术”，那就谬误了。

宇宙人世间的事情太多，古代人为解决某一问题，先进行策划，再确定方法程序，然后按程序实施行动。他们仰观天文、俯察地理，应用感官、直觉，谨慎地采用各种方法。为让他们取得的成果不致被埋没，便用文字将这些成果记载下来，一代一代流传后世。

后人在做事时，往往从头开始，很少考虑前人已有的成果，渐渐地在解决自然和人事的诸多问题时，混乱不堪、缺少根据。我们为什么不可以对前人的成果多多研究一番呢？

九韶愚昧，才疏识陋，但对学习“六艺”却不曾偷闲。我在青少年时代曾随父亲到过都城（临安，南宋京城，今杭州市），因此有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还跟随隐居的学者学习数学。那时，蒙古军队入侵四川，长年路途阻塞，自己不得不长期处于战乱之中。尝尽艰险，历经忧患，就这样辗转渡过了10年光阴，使人心力枯竭、元气失落。

但我坚信，世间万物都与数学相关。于是，我很有兴趣地置身于数学之中，向学者、能人求教，深入探索数学之精微，初步取得一些成果。对于数学大的方面，认识自然、理解人生，我并没有什么发现；但在数学小的方面，对于经营事务、分类万物，却有所得，我尝试以问答形式，拟出若干应用问题。历经多年，积累渐增，我怕一旦丢失甚为可惜，于是就取81个问题，分为9类，写出解题方法及运算程序，有的问题还在其中作图以示之。

我的这些成果，或许可供博学多识的学人闲暇之时品赏，这便达到了本书的目的，我也心满意足了。我原本要把数学提升到哲理（道）的高度，实在难以做到。如果有人说这些数学成果不过是历算学家们流传下来的东西，不能满足社会广泛的实际需要。我相信，这也不会使本书黯然失色。

南宋淳佑七年（1247）九月鲁郡秦九韶序。秦九韶《数书九章·序》，短短1000余字，思想深邃，诗文结合，数理交融，视野广阔，充分体现了中华文化的博大精深。从这些译文中，笔者提炼出9点科学思想方法：一是数学应用的普遍性；二是数学与哲学的一致性；三是继承与发展的必要性；四是“内算”与“外算”的统一性；五是应用“数学建模”的综合方法；六是不断虚心学习，方能有所创新；七是“问答术草图”的思维模式；八是数学与文学的高度整合；九是数学原理一旦发现，必须公开。

座落于4A级景区圆觉洞的秦九韶纪念馆

《数书九章》诗译与题目简介

《数书九章》附诗9首，每一章有一首诗。

第一章：大衍类。巍巍昆仑，气势磅礴，世界本原，在于数学。圣人发现推算历法的大衍术，大衍微妙之处源于《周易》。取奇数的竹棍进行运演，一分为二，舍去模的倍数。用“大衍术”，解出未知数，要深入探索奥秘，方知原由。数学这门学问的发生发展，要依靠实际应用做出判断。那本著名的《九章算术》，惟有大衍之术未曾记载。历算家虽然知道如何计算，却不知这些算法之所以然。我尝试做出解释，让人明白。且看如何由特殊推广到一般。

此章内容是统一用“大衍求一术”解各类问题。

1.蓍卦发微。中国古代《易经》中写道：“大衍之数五十，其用四十有九……”记载了人们用蓍草占卦的过程。秦九韶将此过程上升为数学模式，发现其中奥秘，并给以解释。大衍，即大演，意思是演变。“大衍求一术”是秦九韶最重要的数学成果，提 出解一次同余式组的一般算法。

2.古历会积。推导出古代历法中的“上元积年”。一种历法计算时间的起点称为“历元”。例如，汉武帝在公元前104年公布使用的《太初历》的“历元”那一时刻应是：冬至、朔旦（初一）、甲子日、夜半。“上元积年”是推上距离“历元”多久，又是处于冬至、朔旦（初一）、甲子日、夜半，这种状态，即“上元积年”。这个问题，实际是计算“日月处于相同状态的最小公倍数的时间有多少年”。

3.推计土功。给出一些特定的已知条件，计算筑堤的总工程量，以及几个县民工分别筑堤的工程量。

4.推库额钱。推算地方政府的钱库，按照一定的折合率，将税收折换后，应得税收是多少等财政问题。

5.分粜推原。几个人按国家标准的量器分得粮食，然后到几个地方去出售。各地应用的粮食量器标准不一样，由此推求原来这几个人各自分得的粮食。

6.程行计地。通过传递信息所给出的条件，计算路程和时间等问题。

7.程行相及。根据各自的追及速度，推算行程等问题。

8.积尺寻源。根据砖料的大小尺寸等条件，计算总工程量的问题。

9.余米推数。根据几箩米减少后的余数（余米）等条件，分别推知这几箩米原来是多少的问题。

第二章：天时类。七大行星，苍穹回旋，世间诸事，变化多端。用“缀术”逼近天体运动，白天日影测，夜里星象观。历法用久了，误差就增大，历算家就得改革旧历。如果不实际去观测天体，沿袭旧的模式绝对无益。平原山川的农民耕种收获，全靠大自然的风调雨顺。阳光雨露，庄稼滋生，雨水淋淋，雪水润润。农业官员忧心气象天文，下了多少雨？用器皿测量。测量数据以器皿形状变移，各地不统一，忧喜皆非。

此章内容是有关天文、历法、气象等问题。

1.推气治历。已知某两年冬至节气的具体时刻，由此推算这两年之间某一年冬至时刻，以及这一年的回归年时间与360日的差数等历法问题。

2.治历推闰。根据某一历法上甲子年的冬至发生时刻等条，推算实际的回归年时间与该历法纪年时间之差。这个差，又叫“闰”。

3.治历演纪。根据某历法的回归年和朔望月数据，以及某年甲子日后冬至发生时刻，朔望发生在甲子日后的时间等，推演出一系列历法的重要数据（共有23个数据）。

4.缀术推星。根据对木星运行在“合伏段”和“顺行段”的时间和度数的观测数据，应用逼近方法（即“缀术”），计算木星视运动的初速率、末速率及平均速率等问题。

5.揆日究微。“圭表”测定不同地区的日影长度（称之为揆日），探究两地具有相同日影长的时间差，以及不同历法许算中，在同一天的日影长度之差的问题。

6.天池测雨。根据一定尺寸的圆台形状的“天池盒”，测量雨水，用以推算平地“雨水深”的问题。

7.圆罂测雨。根据一定尺寸的圆形小口大腹的“盛酒器”（称为圆罂），测量雨水，用以推算平地“雨水深”的问题。

8.峻积验雪。根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，用以推算出平地上积雪厚度。

9.竹器验雪。根据一定尺寸的圆形竹箩里积雪的厚度，用以推算平地上积雪厚度。

第三章：田域类。百姓虽小，当放首位，审时度势，以观世界。周代实行井田制度，这关系施行仁政所在。历史一朝朝，人口一代代，开垦的土地，一天天增多。需要量度田亩、整治赋税，重要的是精确进行测量统计。田地形状，方圆各异，有斜、有正、有高、有低。测量技术，内容精深，潜心研究，方能辨明。测量之时，差之毫厘，最后结果，谬之千里。于公于私，皆是大弊，征收赋税理当仔细又仔细。

此章内容是有关各种田地面积的计算问题。

1.尖田求积。一个“尖田”，即一个三角形的田；两个“尖田”，组合成一四边形。已知有两尖田的边长，即四边形的四边之长，以及中宽，求这个“尖田”的面积。这是一个几何问题，秦九韶将此题转化为一个解四次方程的代数问题，给出数值解。《数书九章》中，共有6个问题是应用高次方程数值解法。秦九韶命名为“正负开方术”，是一项重要的数学成果。

2.三斜求积。已知三角形（田）三条边的长度，求此三角形（田）的面积。秦九韶得出“三斜求积”的一般公式。

3.斜荡求积。已知呈四边形的一“荡湖”的四边长度，及一边之高，求此“荡湖”面积。

4.计地容民。已知沙洲四边之长，计算这一四边形沙洲的面积。每户分15亩，计算能容纳多少户流民。

5.蕉田求积。有蕉叶形田一块，已知中长和中宽，求此蕉叶形田的面积。

6.均分梯田。已知一梯形田上底、下底及高，三兄弟要平均分。求总面积、三兄弟各分之面积以及分后的三个梯形的上底、下底及高。

7.漂田推积。一块三角形的田，被水冲去一隅，成了一个四边不等的梯形。测出梯形的三边长及高，推算原三角形田的面积等问题。

8.环田三积。有圆环形田、大圆田、小圆田，共3个，已知圆环形田的外圆周长及内圆直径、大圆圈直径、小圆田周长，计算出这3个田的面积。

9.围田先计。这是一个有关“图湖造田”设计蓝图的计算问题。

第四章：测望类。山之不高，莫称高山，水之不深，莫称大川。大禹治水时，测定山川，使用矩尺才得以后传。智慧的创造，巧妙的论述，用“重差术”进行测算。求解之法，详尽而又周全，测量的对象总是变化多端。又高、又深、又广、又远，进行测量决不是容易简单。

有时是形势险要，进之艰难；有时是敌方营垒，不能着边。要求出未知数，怎么办？先后两次用“表”测量。用两次测量之差进行计算，远离其境也可知高深广远。

此章内容是有关测量的问题。

1.望山高远。用标杆（“表”）进行两次测量，根据二次测量之差计算（此法称为“重差术”），以测算出一座山的高度和此山距测点的距离。

2.临台测水。在临靠水边筑成的城台之上，根据一些已知数据，测算“水退的深度”和“涸岸的斜长”等问题。

3.陡岸测水。在陡峭的河岸边，利用一竹竿，测望这条河水面的宽度。

4.表望方城。通过立标杆（“表”）进行测量，计算敌人一座方形城墙的边宽和敌城离测点的距离。

5.遥度圆城。从远处的地方观测一圆形城，已知两个数据，求圆城的直径与周长。

6.望敌圆营。利用立标杆（“表”），进行两次测量，以求出敌人圆营的周长与直径。

7.望敌远近。通过两次测望，应用“重差术”，测量敌军距我方观测点的距离。

8.古池推元。一个圆形的古池已经坍塌，只剩下一个小段，根据一已知数据，推算古池原貌大小。

9.表望浮图。用标杆（“表”）测量佛塔（梵语称为“浮图”）。标杆上部有刻度，经过两次用表测望，计算出佛塔高度等问题，以便修复已倾斜的佛塔。

第五章：赋役类。国家规定，征收赋税，民间百事，正待兴办。要依据田亩人口的多少，取之有度必须进行测算。徭役虽然可以不免，但应事先商量和计算。应用比例分配要恰当，赋税徭役要均匀承担。汉代距古代并不太远，他们以算赋收取租税。协调均衡收的谷与钱，用以抵御灾害、防洪抗旱。当官的要施仁政，为民着想，设身处地，犹如自己溺水挨饿。赋税徭役分配不均，难道能让人心安理得吗？

此章内容是有关赋税、徭役的问题。

1.复邑修赋。被海冲坍的一个县，重新申请恢复县制，即复邑。根据该县各乡上等、中等、下等的田，按土地肥瘠、应用分配比例进行计算，来征收赋税。秦九韶主张，根据实际情况，合理分摊赋税。这正是针对南宋当时不按土地肥瘠、平均征税的时弊。

2.围田租亩。已知兴修围田的总亩数，上、中、下3个等级的田租率、田亩比例，计算三等田各多少亩和各收多少租金。

3.筑埂均劳。4个县共同修筑防洪堤埂，根据4个县派出的人力，计算各县承担的劳动工程量。

4.宽减屯租。根据议定的宽减屯田租额比率，计算有关原来租额、宽减租额、实征租额等问题。

5.户田均宽。州、郡宽减下等税户纳税，但有的下等税户已经交纳了全税，实际上只对拖欠税款的税户实行宽减。为纳税合理，平均都得到宽减，计算明年征税时的各项减免额。

6.均科绵税。某县有上等、副等、中等、次等、下等，共5等蚕农，生产丝绵，这5等要纳税的农户按不同比率交税。已知总户数、总绵税额，计算各户及各等应纳多少绵税的问题。

7.户税移割。甲将自己的田地卖给乙和丙，即田地转户，计算因为田地转移之后，甲乙丙3户各纳多少赋税等问题。

8.移运均劳。有3县5乡，派民工运输边防用军粮，到某郡交纳。要按物力多少、路途远近，平均分摊，使劳费相等。即按“均输法”（配分比例法）计算各县、乡派民工数的问题。

9.均定劝分。动员富有之家卖米以赈济灾民（即劝分）。卖米数量依据富家的物力田亩多少来确定。富家一共分9等。劝富家卖米的数量，按等次，所卖米数依等差递减，计算各等富家卖米多少的问题。

第六章：钱谷类。纳粮上税，要看等级，粮食入库，要看时节。一粒粒粟，一寸寸丝，都是男男女女的劳动所得。官府要向人民征粮收税，后世的腐败之风频频发生。达官贵人相互攀缘，欺诈百姓，这些大小贪官污吏，用尽心机。我曾听说治理财政，理当犹如智者治水。正本清源，有条不乱，治标治本，消除隐患。那些愚蠢贪官视而不见，人民悲惨，还用刑不断。这是离开理智愈来愈远，贪官不仁啊！可叹可叹！

此章内容是有关钱、粮的数学问题。

1.折解轻赍。地方政府（郡）负担的国税，要上交朝廷。国税有3种：现金（金银）、丝绢、佣金（运费）。按规定折算后，要运解京城。这些国税折算为纸币后，称为“轻赍”。其中有一系列计算问题。

2.算回运费。水路运输大米至甲地，已知运费，但只运到中途的乙地，就停下不运，计算要收回多少运费。

3.课籴贵贱。官府派人到5个地区采购大米。5个地方的米价、斗容、运费均有所不同，用统一的纸币和容器标准（官斛），比较各地区收购米价的贵贱。

4.囤积量容。已知盛米圆囤的上口直径、下底直径及高，计算其容量。制作5倍于“租斗容量”的方斛和圆斛，计算其新制方斛、圆斛的尺寸，计算用新制的方斛、圆斛为容量单位，计算盛米圆囤有多少米。

5.积仓知数。官府征购的粮食等待转运，临时存放在仓库和寺屋中。已知这些仓库和寺屋的宽、深、高，计算这些临时仓库一共能存放多少粮食。

6.推知籴数。官府用一定资金收进粮食，要给中间商（南宋时称为“牙人”）付一定的中介费（称为“牙钱”），还要付运输费。计算这些资金能收进多少粮食等问题。

7.分定纲解。地方政府（州郡）将某一税收分给3个部门，分配比例已定，计算各部门可得多少的问题。

8.累收库本。已知官方钱库发放一次性贷款，即本金，以及利率、每月还钱数额，计算要多少个月才能还清本息。

9.米谷粒分。某农户交纳公粮，大米之中夹杂有谷子。随机取出一勺，测出大米和谷子各多少，从而计算出整个交纳公粮中夹杂有多少谷子。秦九韶已会应用随机抽样统计方法。

第七章：营建类。如此房屋，如此城墙，国家栋梁，社会保障。百姓居住的地方，财富聚散的市场。城市建筑作用巨大，一定要制定好规划。如果策划与营造，不合章法，就会劳民伤财，浪费很大。楚昭王围困蔡国时坚木筑墙，这是采纳了子西的建议。汉代工匠设计天文观象台，汉文帝也担忧造价太昂贵。惟有武力才能争夺战功，惟有节俭才能生财积德。国家太平，家庭才有安全，而今我们从哪里取得规范？

此章内容是有关土木建筑工程的问题。

1.计立城筑。修筑一城的设计方案已定，计算这项设计进行施工时，需要各类建筑材料多少。

2.楼橹功料。在修筑城墙之上，要盖瞭望楼。瞭望楼称为楼橹。根据对瞭望楼的设计，计算建造瞭望楼需要各类建筑材料多少。

3.计造石坝。设计建造一座石板砌成的坝，计算需要石板、石灰多少，用工多少。

4.计浚河渠。开通运河，用开河挖出的土修筑河堤。根据设计要求，计算河积、堤积、堤高，以及用工等问题。

5.计作清台。设计建筑一座高台，计算有关该项工程用工等一系列问题。

6.堂皇程筑。官府的大堂，称为堂皇。建筑官府大堂的地基，限定完工时间，计算所需筑土工多少。

7.翻砖计积。“六门砖”是宋代建筑用砖的一种。已知“六门砖”尺寸，以及堆砖若干垛尺寸，计算总砖数，以及铺砌几处地面用多少、余多少。

8.竹围芦束。已知竹子每一捆外围的竿数，求每捆有多少竹子；已知某一规格的芦苇束数，折换为另一规格的芦苇，应有多少束。

9.积木计余。堆成尖垛形的杉木，取用后，只知其中间一层的杉木数，计算原有杉木和余下杉木各多少。

第八章：军旅类。自然界有金木水土火，金属兵器，非有不可。士兵不训练就去打仗，这是上级的严重过错。威威阵容，严严步履，应以鹅鹳行列为楷模。军营布阵，当有规矩，这是将军们的职责。军队打仗要取得胜利，依靠官兵的智、仁、勇。夜读兵书，重在领悟，首先就要讲究谋略。我听说在过去的战例中，轻敌就会缺智寡谋，侥幸就会失败害民，这也是孔子所担忧的。此章内容是有关军营计算、兵器制造、阵法布列、军需供应的问题。

1.计立方营。已知军队人数及每人占地面积，计算建造一个方形营地的面积。

2.方变锐阵。已知军队总人数及每人占地面积，布成正方形阵，然后正方形阵又变为正三角形阵（即锐阵），计算有关问题。

3.计布圆阵。已知步兵人数，布成圆阵，计算有关圆阵的内、外直径等问题。

4.圆营敷布。周代编制一军，布成圆营有9重。当这个圆营敷设开后，计算有关问题。

5.望知敌众。从远处观测敌军圆营，测量出圆营大小，以推算敌军人数。

6.均敷徭役。军队戍边，要安排士兵守烽火台，按照前、后、中、左、右5军人数比例，合理分配各自应该承担的任务。

7.先计军程。已知军队人数、队形及行军速率；路狭，队形发生变化。计算行军路程。

8.军器功程。制造一定数量的军器（弓、箭、刀），已知工匠人数及制造速度，计算工期问题。

9.计造军衣。仓库里有布、绵、絮3种材料，给出已知条件，计算这些材料可为多少士兵制造军衣等问题。

第九章：市物类。太阳东升，市场热闹，万民生计，买卖依靠。商人贸易才能积累财富，一分一毫他们都会计较。为富不仁者奴役贫民百姓，封疆大吏们却要点头称好。舍本求末，兼并财富，这并非合理的治国之道。

此章内容是有关贸易和利息的问题。

1.推求物价。已知贸易商场3次卖出3种货物的总价，计算3种货物的单价。秦九韶应用“互乘相消法”解线性方程组。

2.均货推本。有4人合股出海经商，已知4人入股的资本，已知出海贸易在海关交纳实物商税之后，还余若干货物。计算有关货物价格，以及4人怎样按入股资本分配赢余货物的问题。这又是应用“互乘相消法”解线性方程组。

3.互易推本。有4种商品（或票证）是等价的，经过4次商品交换后，得到的银两数已知，计算原本第一次进行交换的商品数额。

4.菽粟互易。有关豆类（菽）和主要粮食（小麦、大米）进行交易的计算问题。

5.推计互易。糯谷按一定比率加工出糯米，糯米按一定比率换小麦，小麦按一定比率制曲，曲按一定比率将糯米酿造成酒。已知糯米总量，计算经上述“互易”之后的各种问题。

6.炼金计值。金库中有3种成色的金若干，并分别知道这些金的数量与价格。把这些金炼为足色金（纯金），需要加工费用。计算能炼出多少足色金和它的价格。

7.推求本息。已知3个库按货款的数额多少，分段计息，利率不同；又知每库各段计息的比例，计算这3个库各得多少利息。

8.推求典本。典当一物，借期到时，已知本利和、利率和借期，推求典当的本金。

9.僦值推原。已知—租房户现在交纳的租金额，此租房户已多次减过房租，推算原来每日应交房租的数额。

座落于安岳紫竹公园的秦九韶广场

来源：四川省地方志工作办公室

作者：查有梁（四川省社会科学院管理学研究所研究员）