2012年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（　　）

A．{b}B．{b，c，d} C．{a，c，d} D．{a，b，c，d

2．（5分）（1+x）⁷的展开式中x²的系数是（　　）

A．21B．28 C．35 D．42 

3．（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）

A．101B．808 C．1212 D．2012 

4．（5分）函数y=a^x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）

A．B． 

C．D． 

5．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）

A．B． C． D． 

6．（5分）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）

A．且                B． 

C．    D． 

8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（　　）

A．12B．26 C．28 D．33 

9．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A．B． C．4 D． 

10．（5分）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）

A．   B． C． D． 

11．（5分）方程ay=b²x²+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．28条B．32条 C．36条 D．48条 

12．（5分）设函数f（x）=（x﹣3）³+x﹣1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）

A．0B．7 C．14 D．21 

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）

13．（4分）函数的定义域是　   　．（用区间表示）

14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是　   　．

15．（4分）椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　   　．

16．（4分）设a，b为正实数，现有下列命题：

①若a²﹣b²=1，则a﹣b＜1；

②若，则a﹣b＜1；

③若，则|a﹣b|＜1；

④若|a³﹣b³|=1，则|a﹣b|＜1．

其中的真命题有　   　．（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

18．（12分）已知函数f（x）=cos²﹣sincos﹣．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

20．（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

21．（12分）如图，动点M与两定点A（﹣1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

22．（14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；

（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

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2012年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（　　）

A．{b}B．{b，c，d} C．{a，c，d} D．{a，b，c，d} 

【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由题意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项．

【解答】解：由题意A={a，b}，B={b，c，d}，

∴A∪B={a，b，c，d}

故选：D．

【点评】本题考查并集及其运算，是集合中的基本计算题，解题的关键是理解并能熟练进行求并的计算．

2．（5分）（1+x）⁷的展开式中x²的系数是（　　）

A．21B．28 C．35 D．42 

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由题设，二项式（1+x）⁷，根据二项式定理知，x²项是展开式的第三项，由此得展开式中x²的系数是，计算出答案即可得出正确选项

【解答】解：由题意，二项式（1+x）⁷的展开式中x²的系数是=21

故选：A．

【点评】本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键

3．（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）

A．101B．808 C．1212 D．2012 

【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．

【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12

∴每个个体被抽到的概率为=

样本容量为12+21+25+43=101

∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808

故选：B．

【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．

4．（5分）函数y=a^x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）

A．B． 

C．D． 

【考点】49：指数函数的图象与性质．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．

【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a^x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．

故选：C．

【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题．

5．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）

A．B． C． D． 

【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；

法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．

【解答】解：法一：利用余弦定理

在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，

由余弦定理得cos∠CED=，

∴sin∠CED==．

故选B．

法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，

由正弦定理得，即．

故选：B．

【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．

6．（5分）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【考点】2K：命题的真假判断与应用；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；

C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．

故选：C．

【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．

7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）

A．    且          B． C． D． 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；96：平行向量（共线）．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件

【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，A选项和C选项中和可能反向，B选项不符合λ＞0．

故选：D．

【点评】本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．

8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（　　）

A．12B．26 C．28 D．33 

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值．

【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，

作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大

由可得C（4，4），此时z=28

故选C

【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是，明确目标函数的几何意义

9．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A．B． C．4 D． 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】关键点M（2，y₀）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．

【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y²=2px（p＞0）

∵点M（2，y₀）到该抛物线焦点的距离为3，

∴2+=3

∴p=2

∴抛物线方程为y²=4x

∵M（2，y₀）

∴

∴|OM|=

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．

10．（5分）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）

A．    B． C． D． 

【考点】HV：反三角函数；L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由法一：利用三面角公式，转化求解圆心角，然后求解球面距离．

另解：题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．

【解答】解：法一：作AM⊥OB于M，MN⊥OP于N，连AN，

记角∠AOM、∠MON、∠AON分别为x、y、z，

则 cosx=，cosy=，cosz==cosx cosy

由题意 x=45° y=60°，∴cosz==，

故 A与P球面距离为：R arccos．

故选：A．

另解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，

因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BO的中点，AE==，

AP==，

AP²=OP²+OA²﹣2OP•OAcos∠AOP，，

cos∠AOP=，∠AOP=arccos，

A、P两点间的球面距离为，

故选：A．

【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，三面角公式的应用，考查计算能力以及空间想象能力．

11．（5分）方程ay=b²x²+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．28条B．32条 C．36条 D．48条 

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；K7：抛物线的标准方程．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，然后进行排列．

【解答】解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，

先排a，b，有种，c有种，所以表示抛物线的曲线共有，又因为当b=±2时，b²都等于4，所以重复的抛物线有种，所以不同的抛物线有﹣=32条．

故选：B．

【点评】此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法，要能熟练运用．

12．（5分）设函数f（x）=（x﹣3）³+x﹣1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）

A．0B．7 C．14 D．21 

【考点】8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据f（x）=（x﹣3）³+x﹣1，可得f（x）﹣2=（x﹣3）³+x﹣3，构造函数g（x）=f（x）﹣2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，从而g（a₄）为g（x）与x轴的交点，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．

【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）³+x﹣1，∴f（x）﹣2=（x﹣3）³+x﹣3，

令g（x）=f（x）﹣2

∴g（x）关于（3，0）对称

∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14

∴f（a₁）﹣2+f（a₂）﹣2+…+f（a₇）﹣2=0

∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0

∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点

因为g（x）关于（3，0）对称，所以a₄=3

∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，

故选：D．

【点评】本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，需要一定的基本功．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）

13．（4分）函数的定义域是　（﹣∞，）　．（用区间表示）

【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】结合函数的表达式可得不等式1﹣2x＞0的解集即为所求．

【解答】解：∵1﹣2x＞0

∴x＜

∴函数的定义域为（﹣∞，）

故答案为（﹣∞，）

【点评】本题主要考查了根据函数的解析式求函数的定义域，属常考题，较易．解题的关键是根据函数的解析式得出1﹣2x＞0的解集即为所求！

14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是　90°　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A₁M与DN所成的角．

【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，

则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）

•=0，所以⊥，即A₁M⊥DN，异面直线A₁M与DN所成的角的大小是90°，

故答案为：90°．

【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．

15．（4分）椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．

【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；

∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；

∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；

∴e===．

故答案：．

【点评】本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．

16．（4分）设a，b为正实数，现有下列命题：

①若a²﹣b²=1，则a﹣b＜1；

②若，则a﹣b＜1；

③若，则|a﹣b|＜1；

④若|a³﹣b³|=1，则|a﹣b|＜1．

其中的真命题有　①④　．（写出所有真命题的编号）

【考点】2K：命题的真假判断与应用；72：不等式比较大小．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】①将a²﹣b²=1，分解变形为（a+1）（a﹣1）=b²，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞b，去掉绝对值，将a³﹣b³=1分解变形为（a﹣1）（a²+1+a）=b³，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题④正确．

【解答】解：①若a²﹣b²=1，则a²﹣1=b²，即（a+1）（a﹣1）=b²，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b＜a+1，即a﹣b＜1，①正确；

②若，可取a=7，b=，则a﹣b＞1，∴②错误；

③若，则可取a=9，b=4，而|a﹣b|=5＞1，∴③错误；

④由|a³﹣b³|=1，

若a＞b＞0，则a³﹣b³=1，即（a﹣1）（a²+a+1）=b³，∵a²+1+a＞b²，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1

若0＜a＜b，则b³﹣a³=1，即（b﹣1）（b²+1+b）=a³，∵b²+1+b＞a²，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1

∴|a﹣b|＜1，∴④正确．

故答案为①④．

【点评】本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；

（Ⅱ）利用相互独立事件的概率公式，即可求得结论．

【解答】解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则

∴；

（Ⅱ）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么

P（D）==．

【点评】本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件的概念与计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．

18．（12分）已知函数f（x）=cos²﹣sincos﹣．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】（Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣

=（1+cosx）﹣sinx﹣

=cos（x+）．

∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，

∴cos（α+）=，

∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）

=1﹣2

=1﹣

=．

【点评】本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】15：综合题．

【分析】解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．

（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解．

解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．

（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．

【解答】解法一

（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．    

设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，

因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，

不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．

所以CD=2，OC===

在RT△OCP中，tan∠OCP===．

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）．

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．

解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，

所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．

如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，

CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．

设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，

取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．

而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．

故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．

【点评】本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．

20．（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

【考点】82：数列的函数特性；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a₁（λa₁﹣2）=0，分类讨论：由a₁=0，及a₁≠0，结合数列的和与项的递推公式可求

（II）由a₁＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项

【解答】解（I）当n=1时，

∴a₁（λa₁﹣2）=0

若取a₁=0，则S_n=0，a_n=S_n﹣S_n﹣1=0

∴a_n=0（n≥1）

若a₁≠0，则，当n≥2时，2a_n=，

两式相减可得，2a_n﹣2a_n﹣1=a_n

∴a_n=2a_n﹣1，从而可得数列{a_n}是等比数列

∴a_n=a₁•2^n﹣1==

综上可得，当a₁=0时，a_n=0，当a₁≠0时，

（II）当a₁＞0且λ=100时，令

由（I）可知

∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2

∴b₁＞b₂＞…＞b₆=＞0

当n≥7时，

∴数列的前6项和最大

【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．

21．（12分）如图，动点M与两定点A（﹣1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；

（Ⅱ）直线y=x+m与4x²﹣y²﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x²﹣2mx﹣m²﹣3=0，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标，求出x_R，x_Q，利用，即可确定的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则k_MA=，k_MB=

∵直线MA、MB的斜率之积为4，

∴

∴4x²﹣y²﹣4=0

又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1

综上点M的轨迹方程为4x²﹣y²﹣4=0（x≠±1）

（Ⅱ）直线y=x+m与4x²﹣y²﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x²﹣2mx﹣m²﹣4=0①

∴△=16m²+48＞0

当1或﹣1是方程①的根时，m的值为1或﹣1，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1

设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），

∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=，x_Q=，

∴==

∵m＞0且m≠1

∴，且≠4

∴，且

∴的取值范围是（1，）∪（，3）

【点评】本题以斜率为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性．

22．（14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；

（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n+1，即知，aⁿ≥2n+1对所有n成立，当a=3，n≥1时，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1，当n=0时，aⁿ=2n+1，由此可得a的最小值；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：＞．

【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）

对求导得y′=﹣2x

∴抛物线在点A处的切线方程为，∴

∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=aⁿ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n+1

即知，aⁿ≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=1得到a≥3

当a=3，n≥1时，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1

当n=0时，aⁿ=2n+1

∴a=3时，对所有n都有成立

∴a的最小值为3；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面证明：＞

首先证明：当0＜x＜1时，

设函数g（x）=6x（x²﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=18x（x﹣）

当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=＞0

∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，∴

由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，

从而=

＞6（a+a²+…+aⁿ）==

【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．