2010年四川省高考数学试卷（文科）（含解析版）_文科数学_2000年以后试题_四川高考题_四川印象

2010年四川省高考数学试卷（文科）（含解析版）

来源：四川省地方志工作办公室发布时间：2019-05-09 10:35:46 浏览次数：次【字体：小大】

2010年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于（　　）

A．{3，4，5，6，7，8} B．{3，6}

C．{4，7} D．{5，8}

2．（5分）函数y=log₂x的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

3．（5分）抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（　　）

A．1B．2 C．4 D．8

4．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（　　）

A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6

5．（5分）函数f（x）=x²+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（　　）

A．m=﹣2B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1

6．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（　　）

A．8B．4 C．2 D．1

7．（5分）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　）

A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）

C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）

8．（5分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（　　）

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

9．（5分）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（　　）

A．36B．32 C．28 D．24

10．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．

在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）

11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（　　）

A．1B．2 C．3 D．4

12．（5分）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（　　）

A．B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（x﹣）⁴的展开式中的常数项为　　（用数字作答）

14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=　　．

15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　　．

16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是　　．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．

18．（12分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小．

19．（12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α₊_β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；

②由C_α₊_β推导两角和的正弦公式S_α₊_β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

（Ⅱ）已知

，求cos（α+β）．

20．（12分）已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=（4﹣a_n）q^n﹣1（q≠0，n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

21．（12分）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

22．（14分）设（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．

（1）求g（x）；

（2）当x∈[2，6]时，恒有成立，求t的取值范围；

（3）当0＜a≤时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由．

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2010年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于（　　）

A．{3，4，5，6，7，8}B．{3，6} C．{4，7} D．{5，8}

【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．

【解答】解：∵集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，

又∵集合A与集合B中的公共元素为5，8，

∴A∩B={5，8}，

故选：D．

【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，学习过程中我们应从基础出发．

2．（5分）函数y=log₂x的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

【分析】函数y=log₂x为对数函数，又底数大于1，可选答案．

【解答】解：函数y=log₂x为对数函数，且2＞1

故选：C．

【点评】本题考查对数函数的图象问题，属基本题．

3．（5分）抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（　　）

A．1B．2 C．4 D．8

【专题】11：计算题．

【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．

【解答】解：由y²=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．

故选：C．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．

A．12，24，15，9B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6

【分析】先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．

【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，

故选：D．

【点评】本题主要考查分层抽样方法．

5．（5分）函数f（x）=x²+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（　　）

A．m=﹣2B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1

【专题】11：计算题．

【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．

【解答】解：函数f（x）=x²+mx+1的对称轴为x=﹣

⇔﹣=1⇒m=﹣2．

故选：A．

【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．

6．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（　　）

A．8B．4 C．2 D．1

【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．

【解答】解：由=16，得||=4，

∵=||=4，

而

∴=2

故选：C．

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．

A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）

C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）

【专题】48：分析法．

【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．

【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．

故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数

【解答】解：设甲车间加工原料x箱，

乙车间加工原料y箱，

则

目标函数z=280x+200y

结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．

故选：B．

【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值

9．（5分）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（　　）

A．36B．32 C．28 D．24

【专题】11：计算题．

【分析】依题意，分①5在两端与②5不在两端两种情况，进而分析1、2两个数的情况数目，由分类计数的加法原理计算可得答案．

【解答】解：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，

排法为2×A₃²A₂²=24种，

如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5，有=3种，然后排1和2，有A₂²A₂²=12种，

3×A₂²A₂²=12种，

共计12+24=36种；

故选：A．

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受限制的特殊元素与分类讨论的方法的使用．

10．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．

【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|=

|PF|∈[a﹣c，a+c]

于是∈[a﹣c，a+c]

即ac﹣c²≤b²≤ac+c²

∴

又e∈（0，1）

故选：D．

【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．

11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（　　）

A．1B．2 C．3 D．4

【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．

【分析】将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值．

【解答】解：=≥4

当且仅当取等号

即取等号．

∴的最小值为4

故选：D．

【点评】本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值．

A．B． C． D．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．

【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，

故tan∠BAC=

cos∠BAC=

连接OM，则△OAM为等腰三角形

AM=2AOcos∠BAC=，

同理AN=，且MN∥CD

而AC=R，CD=R

故MN：CD=AM：AC

MN=，

连接OM、ON，有OM=ON=R

于是cos∠MON=

所以M、N两点间的球面距离是．

故选：A．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（x﹣）⁴的展开式中的常数项为　24　（用数字作答）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．

【解答】解：展开式的通项公式为T_r₊₁==（﹣2）^rC₄^rx^4﹣2r

令4﹣2r=0得r=2

得常数项为C₄²（﹣2）²=24．

故答案为24．

【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=　2　．

【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．

【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，

圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，

故，

得|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．

15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°

又由已知，∠ABD=30°

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2，则AC=，CD=1

AB==4

∴sin∠ABC=；

故答案为．

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是　①②　．（写出所有真命题的序号）

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义．

【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的．

【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．

当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确

对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误

取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．

【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．

三、解答题（共6小题，满分74分）

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）先求出甲、乙、丙没中奖的概率，因此事件为相互独立事件，代入公式求解；

（Ⅱ）先求出此事件的对立事件，再由对立事件的公式进行求解．

【解答】解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=，

甲、乙、丙没中奖的事件分别为、、，则P（）P=（）=P（）=，

（Ⅰ）由于“三位同学都没有中奖”是三个相互独立事件，

∴P（）=P（）P（）P（）=

答：三位同学都没有中奖的概率为；

（Ⅱ）“三位同学中至少有两位没有中奖”的对立事件为“至少有两位中奖”

∴1﹣P（•B•C+A••C+A•B•+A•B•C）

=1﹣3×

答：三位同学至少两位没有中奖的概率为．

【点评】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．

18．（12分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小．

【分析】解法一：（1）由题意及图形，利用正方体的特点及异面直线间的公垂线的定义可以求证；

（2）由题意及图形，利用三垂线定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角的大小．

解法二：（1）由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证明两条直线垂直；

（2）由题意及空间向量的知识，抓好两平面的法向量与二面角之间的关系进而可以求出二面角的大小

【解答】解：法一（1）连接AC，取AC中点K，

则K为BD的中点，连接OK

因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点

所以AM

所以MO

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′

因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′

所以AK⊥BD′

所以MO⊥BD′

又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；

（2）取BB′中点N，连接MN，

则MN⊥平面BCC′B′

过点N作NH⊥BC′于H，连接MH

则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角

MN=1，NH=Bnsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2．

法二：

以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）

（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点

所以M（1，0，），O（，，），

=（0，0，1），=（﹣1，﹣1，1）=0，+0=0

所以OM⊥AA′，OM⊥BD′

又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（2）设平面BMC'的一个法向量为=（x，y，z）

=（0，﹣1，），=（﹣1，0，1）

即

取z=2，则x=2，y=1，从而=（2，1，2）

取平面BC′B′的一个法向量为=（0，1，0）

cos

由图可知，二面角M﹣BC′﹣B′的平面角为锐角

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arccos．

【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．

19．（12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α₊_β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；

②由C_α₊_β推导两角和的正弦公式S_α₊_β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

（Ⅱ）已知，求cos（α+β）．

【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．

（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，

并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，

交⊙O于点P₁，终边交⊙O于P₂；角β的始边为OP₂，

终边交⊙O于P₃；角﹣β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．

则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）

P₃（cos（α+β），sin（α+β）），

P₄（cos（﹣β），sin（﹣β））

由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）﹣1]²+sin²（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]²+[sin（﹣β）﹣sinα]²

展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（4分）

②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosα

sin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]

=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）

=sinαcosβ+cosαsinβ；（6分）

（Ⅱ）∵α∈（π，），cosα=﹣

∴sinα=﹣

∵β∈（，π），tanβ=﹣

∴cosβ=﹣，sinβ=

cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

=（﹣）×（﹣）﹣（﹣）×

=．

【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．

20．（12分）已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=（4﹣a_n）q^n﹣1（q≠0，n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）设{a_n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a₁和d，进而根据等差数列的通项公式求得a_n．

（2）根据（1）中的a_n，求得b_n，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．

【解答】解：（1）设{a_n}的公差为d，

由已知得

解得a₁=3，d=﹣1

故a_n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；

（2）由（1）的解答得，b_n=n•q^n﹣1，于是

S_n=1•q⁰+2•q¹+3•q²+…+n•q^n﹣1．

若q≠1，将上式两边同乘以q，得

qS_n=1•q¹+2•q²+3•q³+…+n•qⁿ．

将上面两式相减得到

（q﹣1）S_n=nqⁿ﹣（1+q+q²+…+q^n﹣1）

=nqⁿ﹣

于是S_n=

若q=1，则S_n=1+2+3+…+n=

所以，S_n=．

【点评】本小题主要考查数列的基础知识和划归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；

（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x﹣2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则