2009年四川省高考数学试卷（文科）（含解析版）_文科数学_2000年以后试题_四川高考题_四川印象

2009年四川省高考数学试卷（文科）（含解析版）

来源：四川省地方志工作办公室发布时间：2019-05-08 10:19:19 浏览次数：次【字体：小大】

2009年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x²+4x﹣21＜0}，则S∩T=（　　）

A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}

C．{x|﹣5＜x＜3} D．{x|﹣7＜x＜5}

2．（5分）函数y=2^x⁺¹（x∈R）的反函数是（　　）

A．y=1+log₂x（x＞0）B．y=log₂（x﹣1）（x＞1）

C．y=﹣1+log₂x（x＞0）D．y=log₂（x+1）（x＞﹣1）

3．（5分）（文）等差数列{a_n}公差不为零，首项a₁=1，a₁，a₂，a₅是等比数列，则数列{a_n}的前10项和是（　　）

A．90B．100 C．145 D．190

4．（5分）已知函数f（x）=﹣sin（x+），（x∈R），下面结论错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D．函数f（x）是奇函数

5．（5分）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a=≈0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（　　）

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

6．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

7．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（　　）

A．﹣12B．﹣2 C．0 D．4

9．（5分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（　　）

A．B．π C． D．2π

10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（　　）

A．12万元B．20万元 C．25万元 D．27万元

11．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）

A．60B．48 C．42 D．36

12．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（　　）

A．0B． C．1 D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是　　．

14．（4分）的展开式的常数项是　　（用数字作答）

15．（4分）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是　　．

16．（4分）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f（a）=﹣a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．

其中的真命题是　　（写出所有真命题的编号）

三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．

（1）求A+B的值；

（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．

18．（12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

（Ⅰ）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（Ⅱ）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．

19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°

（I）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．

20．（12分）已知函数f（x）=x³+2bx²+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

22．（14分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．

（I）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_n≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）记c_n=b_2n﹣b_2n﹣1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有．

‎

2009年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x²+4x﹣21＜0}，则S∩T=（　　）

A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5} C．{x|﹣5＜x＜3} D．{x|﹣7＜x＜5}

【分析】由绝对值的意义解出集合S，再解出集合T，求交集即可．

【解答】解：由S={x|﹣5＜x＜5}，T={x|﹣7＜x＜3}故S∩T={x|﹣5＜x＜3}，

故选：C．

【点评】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题．

2．（5分）函数y=2^x⁺¹（x∈R）的反函数是（　　）

A．y=1+log₂x（x＞0）B．y=log₂（x﹣1）（x＞1）

C．y=﹣1+log₂x（x＞0）D．y=log₂（x+1）（x＞﹣1）

【分析】该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．

【解答】解：由y=2^x⁺¹得 x+1=log₂y，即：x=﹣1+log₂y，

又∵原函数的值域是y＞0，

∴函数y=2^x⁺¹（x∈R）的反函数是y=﹣1+log₂x（x＞0）．

故选：C．

【点评】题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．

3．（5分）（文）等差数列{a_n}公差不为零，首项a₁=1，a₁，a₂，a₅是等比数列，则数列{a_n}的前10项和是（　　）

A．90B．100 C．145 D．190

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】由a₁=1，a₁、a₂、a₅成等比数列，可得a₂²=a₁a₅，由等差数列的通项公式可得（1+d）²=1×（1+4d），从而可求得d，根据等差数列的前n项和公式可求的答案．

【解答】解：设等差数列{a_n}的公差为d，则d≠0，

∵a₁，a₂，a₅成等比数列，

∴a₂²=a₁a₅，

又∵首项a₁=1，

∴（1+d）²=1×（1+4d），即d（d﹣2）=0，

∵d≠0，

∴d=2，

∴=100．

故选：B．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，等差数列和等比数列是数列内容中的最基本的数列，是高考的热点之一，解决问题的关键是要熟练掌握公式，灵活应用公式．属于基础题．

4．（5分）已知函数f（x）=﹣sin（x+），（x∈R），下面结论错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D．函数f（x）是奇函数

【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】由题意，f（x）=﹣cosx，可得A，B，C正确，判断D错误，可得结论．

【解答】解：由题意，f（x）=﹣cosx，可得A，B，C正确，

由于f（﹣x）=﹣cosx=f（x），函数是偶函数，即D错误，

故选：D．

【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（　　）

A．甲批次的总体平均数与标准值更接近

B．乙批次的总体平均数与标准值更接近

C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

【分析】本题考查的知识点是平均数，要计算哪个批次的总体平均数与标准值更接近，我们可分别抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639与乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620，分别代入平均数计算公式，计算出平均数后，再与标准值0.618比较，越接近说明总体平均数与标准值更接近．

【解答】解：甲批次的平均数为0.617，

乙批次的平均数为0.613．

故甲批次的总体平均数与标准值更接近

故选：A．

【点评】平均数反映的是数据的总体平均水平，其值越大，则其总体平均水平越高；其值越小，则其总体平均水平越低；其值与标准值之间的差越小，则其总体平均水平与标准越接近．

6．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．

【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，

所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，

所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，

∴直线BC∥平面PAE也不成立．

在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，

故选：D．

【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．

7．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b

但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．

例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．

故选：B．

【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．

8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（　　）

A．﹣12B．﹣2 C．0 D．4

【专题】11：计算题．

【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F₁、F₂，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．

【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，

∴双曲线方程是x²﹣y²=2，

于是两焦点坐标分别是F₁（﹣2，0）和F₂（2，0），

且或、

不妨令，

则，

∴•=

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．

9．（5分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（　　）

A．B．π C． D．2π

【专题】11：计算题．

【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．

【解答】解：∵AC是小圆的直径．

所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点．

O′C=，AC=3，

∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，

则B、C两点的球面距离=．

故选：B．

【点评】高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．

A．12万元B．20万元 C．25万元 D．27万元

【专题】12：应用题；16：压轴题．

【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．

【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且

联立解得

由图可知，最优解为P（3，4），

∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．

故选：D．

【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．

11．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）

A．60B．48 C．42 D．36

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．

【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C₃²A₂²=6种不同排法），

剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；

则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）

此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）

最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，

∴共有12×4=48种不同排法．

故选：B．

【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

12．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（　　）

A．0B． C．1 D．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．

【解答】解：若x≠0，则有，取，

则有：

∵f（x）是偶函数，则

由此得

于是，

故选：A．

【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是　2　．

【专题】11：计算题．

【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．

【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，

∴焦点到准线的距离是1+1=2

故答案为2．

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．

14．（4分）的展开式的常数项是　﹣20　（用数字作答）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求得常数项．

【解答】解：，

令6﹣2r=0，得r=3

故展开式的常数项为（﹣1）³C₆³=﹣20

故答案为﹣20

【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

15．（4分）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是　90°　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A₂B₂C₂，构造直角三角形A₂BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A₂M，从而求解．

【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A₂B₂C₂（如图）．

平移AB₁至A₂B，连接A₂M，∠MBA₂即为AB₁与BM所成的角，

在△A₂BM中，A₂B=a，BM==a，

A₂M==a，

∴A₂B²+BM²=A₂M²，

∴∠MBA₂=90°．

故答案为90°．

【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f（a）=﹣a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．

其中的真命题是　①③④　（写出所有真命题的编号）

【专题】1：常规题型；16：压轴题．

【分析】根据题意，对每一个命题进行推导，看是否和已知条件相符．

【解答】解：①：令λ=μ=1，则f（+）=f（）+f（）故①是真命题，

同理，④：令λ=k，μ=0，则f（k）=kf（）故④是真命题，

③：∵f（）=﹣，则有f（）=﹣，

f（λ+μ）=﹣（λ+μ）=λ•（﹣）+μ•（﹣）=λf）+μf（）是线性变换，

故③是真命题，

②：由f（）=+，则有f（）=+，

f（λ+μ）=（λ+μ）+=λ•（+）+μ•（+）﹣=λf（）+μf（）﹣

∵是单位向量，≠，故②是假命题

故答案为①③④．

【点评】本题考查了向量知识的命题判断，注意向量的基本运算．

三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．

（1）求A+B的值；

（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．

（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．

【解答】解：（1）∵A、B为锐角，sinB=，

∴cosB==．

又cos2A=1﹣2sin²A=，

∴sinA=，cosA==．

∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=．

∵0＜A+B＜π，∴A+B=．

（2）由（1）知C=，∴sinC=．

由正弦定理==得

a=b=c，即a=b，c=b．

∵a﹣b=﹣1，∴b﹣b=﹣1，∴b=1．

∴a=，c=．

【点评】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．

（Ⅰ）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（Ⅱ）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．

【专题】11：计算题．

【分析】（I）由题意得，省外游客有36×，其中27×持金卡；省内游客有36×人，其中9×人持银卡，这是一个等可能事件的概率，事件发生包含的所有事件是从36人中选2人，共有C₃₆²种结果，得到概率．

（II）采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等包含两种情况，一是采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人，二是采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人，这两种结果是互斥的根据互斥事件的概率和等可能事件的概率公式，得到结果．

【解答】解：（I）由题意得，省外游客有36×=27人，其中27×=9人持金卡；省内游客有36×=9人，其中9×=6人持银卡

设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，

这是一个等可能事件的概率，

事件发生包含的所有事件是从36人中选2人，共有C₃₆²种结果，

而满足条件的事件数是C₆¹C₃₀¹

∴

即采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是

（II）设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为：

事件B₁为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，

或事件B₂为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况，

∴

即采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是

【点评】本题考查等可能事件的概率和互斥事件的概率，是一个基础题，学好等可能事件的概率可以为其它概率的学习奠定基础，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°

（I）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（1）欲证EF⊥平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根据条件很显然；

（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PM∥CN，根据线面平行的判定定理很快得证；

（3）作FG⊥AB，交BA的延长线于G，作GH⊥BD于H，连接FH，易证∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．

【解答】解：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF

所以BC⊥EF

因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45，

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE

因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，

BC∩BE=B

所以EF⊥平面BCE

（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN==PC

∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、

作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，

作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、

∴∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角、

∵FA=FE，∠AEF=45°，

∠AEF=90°，∠FAG=45°、

设AB=1，则AE=1，AF=，则

在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+=，

，

在Rt△FGH中，，

∴二面角F﹣BD﹣A的大小为

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

20．（12分）已知函数f（x）=x³+2bx²+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得关于b，c的两个方程，解出b，c即可．

（2）转化为g′（x）=0有实根．根据判别式求出对应的根，在找极值即可．

【解答】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，

即4b+c+3=0．①

f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．

得8b+c+7=0．②

联立①、②，解得c=1，b=﹣1，

于是函数解析式为f（x）=x³﹣2x²+x﹣2．

（2）g（x）=x³﹣2x²+x﹣2+mx，

g′（x）=3x²﹣4x+1+，令g′（x）=0．

当函数有极值时，△≥0，方程3x²﹣4x+1+=0有实根，

由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．

①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．

②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，

x₁=（2﹣），x₂=（2+），

当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）		极大值		极小值

故在m∈（﹣∞，1）时，函数g（x）有极值；

当x=（2﹣）时g（x）有极大值；

当x=（2+）时g（x）有极小值．

【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．

（2）由题意知F₁（﹣1，0）、F₂（1，0），①若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=﹣1，由得

设、，，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²﹣2=0．再由根与系数的关系进行求解．

【解答】解：（1）由已知得，

解得

∴∴所求椭圆的方程为

（ 2）由（1）得F₁（﹣1，0）、F₂（1，0）

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，

由得

设、，

∴，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），

联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²﹣2=0

∴，

∴．

又∵

∴

化简得40k⁴﹣23k²﹣17=0

解得k²=1或k²=（舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答．

22．（14分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．

（I）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_n≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）记c_n=b_2n﹣b_2n﹣1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）根据题中给的a_n=5S_n+1，继而可得a_n﹣1=5s_n﹣1+1，两式子相减得，a_n﹣a_n﹣1=5a_n，因此，因而可得出a_n，b_n的通项公式．

（2）根据b_n的通项公式，算出的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k．

（3）根据b_n的通项公式，计算出c_n的通项公式，再比较T_n与的大小．

【解答】解：（ I）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴

又∵a_n=5S_n+1，a_n₊₁=5S_n₊₁+1∴

∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，

∴，

（ II）不存在正整数k，使得R_n≥4k成立．

证明：由（I）知

∵．

∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*）

∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m﹣1+b_2m）＜8m=4n

当n为奇数时，设n=2m﹣1（m∈N^*）

∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m﹣3+b_2m﹣2）+b_2m﹣1＜8（m﹣1）+4=8m﹣4=4n

∴对于一切的正整数n，都有R_n＜4k

∴不存在正整数k，使得R_n≥4k成立．

（III）由得

又，∴，当n=1时，，

当n≥2时，

．

【点评】此题主要考查数列递推式的求解及相关计算．

来源：四川省地方志工作办公室

终审：何晓波

分享到：

【打印正文】