2008年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁_U（A∩B）=（　　）

A．{3}B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}

2．（5分）函数的反函数是（　　）

A．B．y=e^2x﹣1（x∈R） 

C．D． 

3．（5分）设平面向量，则=（　　）

A．（7，3）B．（7，7） C．（1，7） D．（1，3） 

4．（5分）（tanx+cotx）cos²x=（　　）

A．tanxB．sinx C．cosx D．cotx 

5．（5分）不等式|x²﹣x|＜2的解集为（　　）

A．（﹣1，2）B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2） 

6．（5分）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）

A．B． C．y=3x﹣3 D． 

7．（5分）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　）

A．B． C． D． 

8．（5分）设M是球心O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（　　）

A．B． C． D． 

9．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（　　）

A．13B．2 C． D． 

10．（5分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（　　）

A．1条B．2条 C．3条 D．4条 

11．（5分）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

A．24B．36 C．48 D．96 

12．（5分）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（　　）

A．B． C． D． 

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²的系数为　   　．

14．（4分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为　   　．

15．（4分）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有　   　种．

16．（4分）设数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，则通项a_n=　   　．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x的最大值与最小值．

18．（12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．

19．（12分）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．

20．（12分）设x=1和x=2是函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1的两个极值点．

（Ⅰ）求a和b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

21．（12分）设数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n﹣2ⁿ，

（Ⅰ）求a₁，a₄

（Ⅱ）证明：{a_n+1﹣2a_n}是等比数列；

（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

22．（14分）设椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，点F₂到右准线为l的距离为

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，

证明：当|MN|取最小值时，．

‎ 

2008年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁_U（A∩B）=（　　）

A．{3}       B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．

【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；

所以C_U（A∩B）={1，2，4，5}，

故选：D．

【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．

2．（5分）函数的反函数是（　　）

A．B．y=e^2x﹣1（x∈R） 

C．D． 

【考点】4G：指数式与对数式的互化；4R：反函数．菁优网版权所有

【分析】反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰

【解答】解：∵由y=ln（2x+1）反解得∴从而淘汰B、D、

又∵原函数定义域为∴反函数值域为

故选：C．

【点评】此题重点考查求反函数的方法，考查原函数与反函数的定义域与值域的互换性

3．（5分）设平面向量，则=（　　）

A．（7，3）B．（7，7） C．（1，7） D．（1，3） 

【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有

【分析】根据向量的坐标运算法则即可解题．

【解答】解：∵∴

故选：A．

【点评】此题重点考查向量加减、数乘的坐标运算；应用向量的坐标运算公式是解题的关键；

4．（5分）（tanx+cotx）cos²x=（　　）

A．tanxB．sinx C．cosx D．cotx 

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有

【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．

【解答】解：∵=

故选：D．

【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．

5．（5分）不等式|x²﹣x|＜2的解集为（　　）

A．（﹣1，2）B．（﹣1，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2） 

【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有

【分析】可由绝对值的意义去绝对值，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法

【解答】解：∵|x²﹣x|＜2∴﹣2＜x²﹣x＜2即，，∴x∈（﹣1，2）

故选：A．

【点评】此题重点考查绝对值不等式和二次不等式的解法，属基本题．准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键

6．（5分）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）

A．B． C．y=3x﹣3 D． 

【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有

【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．

【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°

∴两直线互相垂直

则该直线为，

那么将向右平移1个单位得，即

故选：A．

【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．

7．（5分）△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若a=b，A=2B，则cos B=（　　）

A．B． C． D． 

【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．

【解答】解：∵△ABC中，，

∴根据正弦定理得

∴

故选：B．

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．

8．（5分）设M是球心O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（　　）

A．B． C． D． 

【考点】L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有

【分析】可通过数形结合的方法，画出图形，再利用勾股定理进行求解．

【解答】解：设分别过M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r₁，r₂，球半径为R，

则：

∴

∴这两个圆的面积比值为：

故选：D．

【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系．

9．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（　　）

A．13B．2 C． D． 

【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．

【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2

∴，，，，

∴，

∴

故选：C．

【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．

10．（5分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（　　）

A．1条B．2条 C．3条 D．4条 

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．

【解答】解：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件

故选：B．

【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；

数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；

11．（5分）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

A．24B．36 C．48 D．96 

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF₁|，作PF₁边上的高AF₂则可知AF₁的长度，进而利用勾股定理求得AF₂，则△PF₁F₂的面积可得．

【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，

∴F₁（﹣5，0），F₂（5，0）

∵|PF₂|=|F₁F₂|，

∴|PF₁|=2a+|PF₂|=6+10=16

作PF₁边上的高AF₂，则AF₁=8，

∴

∴△PF₁F₂的面积为

故选：C．

【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．

12．（5分）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（　　）

A．B． C． D． 

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积．

【解答】解：如图在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，设∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，

由条件有∠C₁A₁B₁=60°，作AO⊥面A₁B₁C₁于点O，

则

∴∴

∴

故选：B．

【点评】此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²的系数为　﹣6　．

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】利用乘法原理找展开式中的含x²项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x²的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x²的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．

【解答】解：∵（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²项为

C₃⁰1³（2x）⁰•C₄²1²（﹣x）²+C₃¹1²（2x）¹•C₄¹1³（﹣x）¹+C₃²1²（2x）²•C₄⁰1⁴（﹣x）⁰

∴所求系数为C₃⁰•C₄²+C₃¹•2•C₄¹（﹣1）+C₃²•2²•C₄⁰1⁴=6﹣24+12=﹣6．

故答案为：﹣6．

【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．

14．（4分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为　　．

【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合．

【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．

【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；

∵圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2的圆心为C（1，1），半径为，

点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，

∴AD=CD﹣AC=2﹣=，

故C上各点到l的距离的最小值为．

故答案为：

【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．

15．（4分）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有　140　种．

【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】要求甲、乙中至少有1人参加的对立事件是甲和乙都不参加，所以从事件的反面入手来解，从10个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数．

【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C₁₀⁴种不同挑选方法，

从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C₈⁴种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C₁₀⁴﹣C₈⁴=210﹣70=140种不同挑选方法

故答案为：140．

【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，由题目中的“至少”知道从反面排除易于解决，这和概率中的对立事件考虑方法一样，正难则反原则．

16．（4分）设数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，则通项a_n=　　．

【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．

【解答】解：∵a₁=2，a_n+1=a_n+n+1

∴a_n=a_n﹣1+（n﹣1）+1，a_n﹣1=a_n﹣2+（n﹣2）+1，a_n﹣2=a_n﹣3+（n﹣3）+1，…，a₃=a₂+2+1，a₂=a₁+1+1，a₁=2=1+1

将以上各式相加得：a_n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1

=

故答案为；

【点评】此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a_n+1=a_n+n+1中a_n+1，a_n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x的最大值与最小值．

【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）²+6，可设z═（u﹣1）²+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x=7﹣2sin2x+4cos²x（1﹣cos²x）=7﹣2sin2x+4cos²xsin²x=7﹣2sin2x+sin²2x=（1﹣sin2x）²+6

由于函数z=（u﹣1）²+6在[﹣1，1]中的最大值为z_max=（﹣1﹣1）²+6=10

最小值为z_min=（1﹣1）²+6=6

故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6

【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

18．（12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（1）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．设出事件，知事件之间是相互独立的和互斥的，根据概率公式得到结果．

（2）进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品包括进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品和进入商场的2位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品．根据事件之间的关系，得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

A与B 是相互独立的，且A与B是互斥的，

∵C=A+B

∴

==

=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5

（Ⅱ）记A₂表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

D表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；

E表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；

∵=，

∴P（）=P（）•P（）

=0.5×0.4=0.2

P（A₁）=C₃²×0.2²×0.8=0.096

P（A₂）=0.2³=0.008

P（E）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=0.096+0.008=0.104

【点评】此题重点考查相互独立事件有一个发生的概率，分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；

19．（12分）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LY：平面与平面垂直；MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想．

【分析】解法1：（Ⅰ）直接证明GHBC推出四边形BCHG是平行四边形．

（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．推出EF∥CH，就是EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．

（Ⅲ）连接EC，证明BG⊥EA．BG⊥ED，ED∩EA=E，推出BG⊥平面ADE，然后证明平面ADE⊥平面CDE．

解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz

（Ⅰ）通过，又点G不在直线BC上，说明四边形BCHG是平行四边形．

（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．利用，又C∉EF，H∈FD，证明C，D，E，F四点共面．

（Ⅲ）通过，即CH⊥AE，CH⊥AD，说明平面ADE⊥平面CDE

【解答】解法1：（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD

所以GH

又BC，故GHBC

所以四边形BCHG是平行四边形．

（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：

由BE，G是FA的中点知，BEGF，所以EF∥BG

由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上

所以C，D，F，E四点共面．

（Ⅲ）连接EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形

故BG⊥EA．由题设知FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED

又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE

由（Ⅰ）知CH∥BG，所以CH⊥平面ADE．

由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE

解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，

以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz

（Ⅰ）设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），G（0，0，c），H（0，b，c）

所以

于是

又点G不在直线BC上

所以四边形BCHG是平行四边形．

（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：

由题设知F（0，0，2c），所以

又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．

（Ⅲ）由AB=BE得，所以

又，因此

即CH⊥AE，CH⊥AD

又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE

故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE

【点评】此题重点考查立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考查了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键．

20．（12分）设x=1和x=2是函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1的两个极值点．

（Ⅰ）求a和b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．

（Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．

【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x⁴+3ax²+b

由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²﹣1）（x²﹣4）=5（x+1）（x+2）（x﹣1）（x﹣2）

当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0

当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＜0

因此f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，1），（2，+∞）

f（x）的单调减区间是（﹣2，﹣1），（1，2）

【点评】本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．

21．（12分）设数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n﹣2ⁿ，

（Ⅰ）求a₁，a₄

（Ⅱ）证明：{a_n+1﹣2a_n}是等比数列；

（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）令n=1得到s₁=a₁=2并推出a_n，令n=2求出a₂，s₂得到a₃推出a₄即可；

（Ⅱ）由已知得a_n+1﹣2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）﹣（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹﹣2ⁿ=2ⁿ即为等比数列；

（Ⅲ）a_n=（a_n﹣2a_n﹣1）+2（a_n﹣1﹣2a_n﹣2）+…+2^n﹣2（a₂﹣2a₁）+2^n﹣1a₁=（n+1）•2^n﹣1即可．

【解答】解：（Ⅰ）因为a₁=S₁，2a₁=S₁+2，所以a₁=2，S₁=2，

由2a_n=S_n+2ⁿ知：2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹，

得a_n+1=s_n+2ⁿ⁺¹①，

则a₂=S₁+2²=2+2²=6，S₂=8；a₃=S₂+2³=8+2³=16，S₂=24，a₄=S₃+2⁴=40；

（Ⅱ）由题设和①式知a_n+1﹣2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）﹣（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹﹣2ⁿ=2ⁿ

所以{a_n+1﹣2a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅲ）a_n=（a_n﹣2a_n﹣1）+2（a_n﹣1﹣2a_n﹣2）+…+2^n﹣2（a₂﹣2a₁）+2^n﹣1a₁=（n+1）•2^n﹣1

【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．

22．（14分）设椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，点F₂到右准线为l的距离为

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，

证明：当|MN|取最小值时，．

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）先根据离心率求得a和c的关系，进而根据F₂到右准线为l的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而根据a，b和c的关系气的b．

（Ⅱ）根据（1）中的椭圆方程求得可知椭圆的焦点坐标，则l的方程可得，设出M，N的坐标，根据求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表达式中，根据均值不等式求得|MN|的最小值，根据等号成立的条件求得y₁和y₂的值，进而求得，证明原式．

【解答】解：（Ⅰ）因为，F₂到l的距离，所以由题设得解得

由b²=a²﹣c²=2，得

（Ⅱ）由得，l的方程为

故可设

由知

得y₁y₂=﹣6，所以

当且仅当时，上式取等号，此时y₂=﹣y₁

所以，=（0，y₁+y₂）=

【点评】此题重点考查椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量与椭圆的综合应用；要熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的应灵活应用．