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2023-07-31 10:47:22

2010年四川省高考数学试卷(理科)(含解析版)

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-12 22:16:54 浏览次数: 【字体:


 

 

2010年四川省高考数学试卷(理科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)i是虚数单位,计算i+i2+i3=(  )

A.﹣1B.1 C.﹣i D.i 

2.(5分)下列四个图象所表示的函数,在点x=0处连续的是(  )

A.c3d4a99d540b43e09ca3db6dab857c12.pngB.429a6830da1d4edb8b207aad4722253c.Png 

C.cef36c88ec894381b2ba0378e1ff6114.png                  D.73a5d576bcea4e568421a8b74a9931a1.Png 

3.(5分)2log510+log50.25=(  )

A.0B.1 C.2 D.4 

4.(5分)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(  )

A.m=﹣2B.m=2 C.m=﹣1 D.m=1 

5.(5分)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,5a2bb15c0e8042e29603e4f63e16e3c1.Png8b161ad27a8a4295bf8b8890ffc98ee9.Png,则c457eb6076db4f8ebd531c6481ccb2cb.Png=(  )

A.8B.4 C.2 D.1 

6.(5分)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动c884c0386bb147438b62ca6b3f41cc4f.Png个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(  )

A.y=sin(2x﹣)B.y=sin(2x﹣e45aff1b546e440caa6a8165f8509d37.Png 

C.y=sin(x﹣)D.y=sin(d66b027a93ee4dddbb2094b05d159bc0.Pngx﹣60bbb0484e0844698dfaff6617f58566.Png 

7.(5分)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为(  )


A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60

B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55

C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50

D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30

8.(5分)已知数列{an}的首项a10,其前n项的和为Sn,且Sn+1=2Sn+a1,则c92ab556116b4d5598f7b17a450d1b3e.Png=(  )

A.0B.4d457774d7174b9488cc6d5f5b224b10.Png C.1 D.2 

9.(5分)椭圆6aa0fe57ac8d4b24aa2fe127cbe384b2.Png的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(  )

A.(0,71b9dc92d967453ba557349d7b86aab1.png]      B.(0,cec273501e474a4eb5b0245ca4a8b824.Png]       C.[b9da3a04e64a4ce7b34d26b7bfc1733e.Png,1) D.[f7414b0a3bd443b0a9ee3691096c92b6.Png,1) 

10.(5分)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(  )

A.72B.96 C.108 D.144 

11.(5分)半径为R的球O的直径AB垂直于平面α,垂足为B,BCD是平面α内边长为R的正三角形,线段AC、AD分别与球面交于点M、N,那么M、N两点间的球面距离是(  )

247e26a5eb364e049d4eb56a76c49d78.Png 

A.a618213dac2f450baddf5c81f994ef63.pngB.8455944dc6604a3691d0887c11c6a7dc.Png C.667857fb6a5b4ef4aa5735aa447e9e68.Png D.694f1f94e3bb477e90cf13368e8691df.Png 

12.(5分)设abc0,则2a2+c1e2e909e8b34805aa2f8aff3834f070.Png+0604af26181641afb6a72aaa94345693.Png﹣10ac+25c2的最小值是(  )

A.2B.4 C.4828d53a789b432c8c2943430c504821.Png D.5 

二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)

13.(4分)d51bbd5da8a9475d87072dc2f179fd5a.Png的展开式中的第四项是     

14.(4分)直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点,则|AB|=     

15.(4分)如图,二面角α﹣l﹣β的大小是60°,线段ABα.Bl,AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是     

540772285c3e4e729ace0e7f9c25048c.Png 

16.(4分)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS,都有x+y,x﹣y,xyS,则称S为封闭集.下列命题:

集合S={a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)}为封闭集;

若S为封闭集,则一定有0S;

封闭集一定是无限集;

若S为封闭集,则满足STC的任意集合T也是封闭集.

其中真命题是     .(写出所有真命题的序号)

三、解答题(共6小题,满分74分)

17.(12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为5edd33833c7d45bea8ae865d6ec20819.Png.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;

(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

 

 

 

 

18.(12分)已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.

(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;

(Ⅱ)求二面角M﹣BC′﹣B′的大小;

(Ⅲ)求三棱锥M﹣OBC的体积.

99dd0fa7b376431989d3e9caefb1d8ce.Png 

 

 

 

 

 

 

19.(12分)(Ⅰ)证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ;由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

(Ⅱ)已知ABC的面积951adc5c482d49fbbee5d3d80f1e6b73.Png,且561e09f3fb064fdfb9149c2963edc3a1.Png,求cosC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.(12分)已知定点A(﹣1,0),F(2,0),定直线l:x=6fb0c1c23e184f3ba18201ff23c74d7c.Png,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

21.(12分)已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、nN*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n)2

(1)求a3,a5

(2)设bn=a2n+1﹣a2n﹣1(nN*),证明:{bn}是等差数列;

(3)设cn=(an+1﹣an)qn﹣1(q0,nN*),求数列{cn}的前n项和Sn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.(14分)设f(x)=5ea05d8e63b3480f86e4ffbec7df65c8.Png(a0且a1),g(x)是f(x)的反函数.

(1)设关于x的方程loga023e0a7ad1564175943199ec6cf51622.Png=g(x)在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;

(2)当a=e(e为自然对数的底数)时,证明:df26e0ba38d640c985c7246e2f41f49d.Pngg(k)2644e4ca4a27420a8bfa5e67f062021e.Png

(3)当0a415e191372df4fabb616eeeaab33fb22.Png时,试比较|4bb15b9311f041b5b8744e4b2494db9a.Pngf(k)﹣n|与4的大小,并说明理由.

 


 

2010年四川省高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)i是虚数单位,计算i+i2+i3=(  )

A.﹣1B.1 C.﹣i D.i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【分析】利用复数i的幂的运算,容易得到答案.

【解答】解:由复数性质知:i2=﹣1

故i+i2+i3=i+(﹣1)+(﹣i)=﹣1

故选:A.

【点评】本题考查复数幂的运算,是基础题.

 

2.(5分)下列四个图象所表示的函数,在点x=0处连续的是(  )

A.ac76d2b35ce64ed0bf126962539226c7.pngB.34b5396b33cf48f9848dd808671b6a25.Png 

C.777d2a485571494495ba7b7f26700b51.pngD.92a9c5026dc84875bd793fea3cbaf190.Png 

 

【考点】3S:函数的连续性.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合.

【分析】根据连续的定义,函数f在x=0连续,满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义,而且等于它的函数值.根据图象可知A函数在x=0无定义,B有间断点即极限不存在,C虽然有极限但是极限不等于f(0),得到正确答案即可.

【解答】解:由图象及函数连续的性质知,A中的函数在x=0处无意义,所以不连续;B中的函数x趋于0无极限,所以不连续;C中虽然有极限,但是不等于f(0),所以不连续;只有D满足连续的定义,所以D中的函数在x=0连续.所以D正确.

故选:D.

【点评】考查学生掌握连续的定义,会利用数学结合的数学思想解决实际问题.

 

3.(5分)2log510+log50.25=(  )

A.0B.1 C.2 D.4 

 

【考点】4H:对数的运算性质.菁优网版权所有

【分析】根据对数运算法则可直接得到答案.

【解答】解:2log510+log50.25

=log5100+log50.25

=log525

=2

故选:C.

【点评】本题主要考查对数的运算法则.

 

4.(5分)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(  )

A.m=﹣2B.m=2 C.m=﹣1 D.m=1 

 

【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可.

【解答】解:函数f(x)=x2+mx+1的对称轴为x=﹣6a5f0c02346e424481c084b7320a4b39.Png

b429dd466c164cf68e26eb30bf0cc37f.Png=1m=﹣2.

故选:A.

【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题.

 

5.(5分)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,0069c6a2e33e416ebeb3a23566d7f6ff.Png1269bdd7180849b2a31bcd0ab33b227a.Png,则e283e0a334544a5ea4f2904f858562f1.Png=(  )

A.8B.4 C.2 D.1 

 

【考点】9E:向量数乘和线性运算.菁优网版权所有

【分析】先求出|a4e064c2a3c84fdfa7adc098ac16a7d1.Png|=4,又因为32b34f2fab084ae9b6a087c1f4f8a147.Png=|df6bee719d9946ec9af61570679923ba.Png|=23eabf538dfaa4ce4af6ed3c60f44f1f7.Png=4,可得答案.

【解答】解:由e1561ef000f6483098a3c7c39ef0e0bc.Png=16,得|a40caeb4f7c14acfb1dbdece45b581b8.Png|=4,

bbd302081c394d61a1f68662d3fdb6a4.Png=|ad0fc94716a7477daca8f4aa2f1ec126.Png|=4,

68deb3fa6fe546b8a789aa7be3ccaa43.Png

0c99413b6b614a5ab20159c55396185a.Png=2

故选:C.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算,属基础题.

 

6.(5分)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动c9cee287e80b432e97a2028e06e8956d.Png个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(  )

A.y=sin(2x﹣)B.y=sin(2x﹣d2a86344ee2340d880d43f4947c928e5.Png 

C.y=sin(x﹣)D.y=sin(6346b8dc37a34c6a9109e91b7c795070.Pngx﹣4af00a30232a4d0895d6bb43672ac349.Png 

 

【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有

【专题】48:分析法.

【分析】先根据左加右减进行左右平移,然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的a752093b421e4045b3a66dfe1d910f90.Png倍进行横向变换.

【解答】解:将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动142748987c894fc4bb18f33559024475.Png个单位长度,所得函数图象的解析式为y=sin(x﹣2fdb7310c541493dacca71e8d347a6ce.Png

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是y=sin(c8563ab7cfd040d4b55bf069b971a571.Pngx﹣af04e9a587fb447d9be930913c470c35.Png).

故选:C.

【点评】本题主要考查三角函数的平移变换.平移的原则是左加右减、上加下减.

 

7.(5分)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为(  )


A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60

B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55

C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50

D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30  

【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,根据题意列出不等式组,找出目标函数

【解答】解:设甲车间加工原料x箱,

乙车间加工原料y箱,

289386a847994644b3ba63c4d775f9c9.Png

目标函数z=280x+200y

结合图象可得:当x=15,y=55时z最大.

故选:B.

【点评】在解决线性规划问题是,我们常寻找边界点,代入验证确定最值

 

8.(5分)已知数列{an}的首项a10,其前n项的和为Sn,且Sn+1=2Sn+a1,则36e2370beae248809320ade98499d89c.Png=(  )

A.0B.159b0332649448be8c9ddcc05068ee86.Png C.1 D.2 

 

【考点】6F:极限及其运算;89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】由题意知an+2=2an+1,再由S2=2S1+a1,即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1,知{an}是公比为2的等比数列,所以Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=(2n﹣1)a1,由此可知答案.

【解答】解:由Sn+1=2Sn+a1,且Sn+2=2Sn+1+a1

作差得an+2=2an+1

又S2=2S1+a1,即a2+a1=2a1+a1Þa2=2a1

{an}是公比为2的等比数列

Sn=a1+2a1+22a1++2n﹣1a1=(2n﹣1)a1

6cd432fa2e7943949d7c61e936b981e5.Png

故选:B.

【点评】本题考查数列的极限和性质,解题时要认真审题,仔细解答.

 

9.(5分)椭圆a146740b2fbc48cea6ff9e1d9cf6673a.Png的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是(  )

A.(0,938cafb75dc24b7ca4e77da43f2d4d21.png]         B.(0,4621b523a3f14c149e81b16023a188e0.Png]        C.[a2d0f70e25644efba663dc337a29074e.Png,1) D.[ce4112267cdd4f47b62ffd2f7011c148.Png,1) 

 

【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,根据|PF|的范围求得|FA|的范围,进而求得d293047530894fa4b7bc81bb840a7f6d.Png的范围即离心率e的范围.

【解答】解:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等

|FA|=05b98f9e77c24ba7a2726b029c1ea584.Png

|PF|[a﹣c,a+c]

于是7f821adf336743499f19bbf0ff02f61b.Png[a﹣c,a+c]

即ac﹣c2b2ac+c2

9cc1940912264ebe919f77ec52ea6da9.Png

aca0688ed3654ce5809a6ca6c9372290.Png 

又e(0,1)

故选:D.

【点评】本题主要考查椭圆的基本性质.属基础题.

 

10.(5分)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(  )

A.72B.96 C.108 D.144 

 

【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】本题是一个分步计数原理,先选一个偶数字排个位,有3种选法,对于5要求比较多,需要分类,若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,根据分步计数原理得到结果.

【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数原理,

先选一个偶数字排个位,有3种选法,

若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,有A32种,然后剩下的两个位置全排列,共有2A32A22=24个;

若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,有A22种,然后剩下的两个位置全排列,共3A22A22=12个

根据分步计数原理知共计3(24+12)=108个

故选:C.

【点评】本题考查分步计数原理,考查分类计数原理,考查排列组合的实际应用,是一个数字问题,这种问题的限制条件比较多,注意做到不重不漏.

 

11.(5分)半径为R的球O的直径AB垂直于平面α,垂足为B,BCD是平面α内边长为R的正三角形,线段AC、AD分别与球面交于点M、N,那么M、N两点间的球面距离是(  )

954acd0f974c40359e62239a22da786b.Png 

A.be31554f1fe041cb8bc086178d825573.png            B.86ace5e6201f4af7a3496a27c8ae4209.Png C.b70b4ef943014d31877cbeae9140214a.Png D.ef2c87ba512b40d9af94080ee7386782.Png 

 

【考点】L*:球面距离及相关计算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦,再代入求解,即可求出MN的两点距离.

【解答】解:由已知,AB=2R,BC=R,

故tanBAC=0828ca8e06c54f13a9be5c8667ab1ca1.Png

cosBAC=5b6c3f23bd174e0799c6f184960d77e7.Png

连接OM,则OAM为等腰三角形

AM=2AOcosBAC=5fc683a65df148f782cffdf9b98f23c1.Png

同理AN=e65a37450e9e49cc9ae4dd8e11e87c1d.Png,且MNCD

而AC=54b6a61105ee475a827069b6c16ae1ed.PngR,CD=R

故MN:CD=AM:AC

MN=2a7012a427524c74bee6f15725c2f8ee.Png

连接OM、ON,有OM=ON=R

于是cosMON=ab4c7ae7a86a4e0a9ac911b7bb89c700.Png

所以M、N两点间的球面距离是793b2299fd2844fe80b21cfc0100887c.Png

故选:A.

b29dd88c9db046df9fc66aff501ed5a4.Png 

【点评】本题考查学生的空间想象能力,以及学生对球面上的点的距离求解,是中档题.

 

12.(5分)设abc0,则2a2+b22d680135e24bf48318bdbac87b6f66.Png+d888c15979e84630ab1f9444acf63890.Png﹣10ac+25c2的最小值是(  )

A.2B.4 C.ceed3e140ede43b2a136b9b2c9eb93dc.Png D.5 

 

【考点】7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】先把3e23c1145d9545a3afcd87462633ca7d.Png整理成1e5ad7c5f9524a2395ba7b8e304f6819.Png,进而利用均值不等式求得原式的最小值.

【解答】解:37f78845345f47bdb8f4ad1fb23f0296.Png

=e85bbe38d15543bd96ac0d7dd02473d9.Png

=7c3d66909b494a7cb9138ce60eb0e641.Png

0+2+2=4

当且仅当a﹣5c=0,ab=1,a(a﹣b)=1时等号成立

如取a=f7cb6e1c8e8e41278d0d6fec04e4b859.Png,b=2024fe51e1ea4d93b9d54525a4cc1336.Png,c=e94f5a4cf7a84dc78e363254de1c5af8.Png满足条件.

故选:B.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用.主要考查了运用基本不等式求最值的问题.

 

二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)

13.(4分)7c76ed1e3c0448d2b9446d514867b68d.Png的展开式中的第四项是 ﹣6d05dea94514491d885b4361b89416fc.Png 

 

【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项.

【解答】解:T4=67815a13bab6408bb06db274096369e3.Png

故答案为:﹣c125976f5e6a4bb3901a884c3ad1e6e5.Png

【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

 

14.(4分)直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点,则|AB|= 2258cf3f22e144d539ea0ee7d5dfee275.Png 

 

【考点】J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有

【分析】可以直接求出A、B然后求值;也可以用圆心到直线的距离来求解.

【解答】解:圆心为(0,0),半径为22bc1be93467f4530bc94685ad23a6da7.Png

圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=3dd941e624f7484d81fe437785b7fa78.Png

df91b3b9a4a545e3bb26e6ab14ffde14.Png

|AB|=23e0ad5a5deef443b9a6561075bf72d35.Png

故答案为:270c0820d05a846a0ab6efe7000558eac.Png

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的理解能力,是基础题.

 

15.(4分)如图,二面角α﹣l﹣β的大小是60°,线段ABα.Bl,AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是 89974c58db7143538f1d3bd5749857b8.Png 

e25cf61d7c5144deae6fe08696cc762b.Png 

 

【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线.垂足为D,连接AD,从而ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角,连接CB,则ABC为AB与平面β所成的角,在直角三角形ABC中求出此角即可.

【解答】解:过点A作平面β的垂线,垂足为C,

在β内过C作l的垂线.垂足为D

连接AD,有三垂线定理可知ADl,

ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角,为60°

又由已知,ABD=30°

连接CB,则ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2,则AC=71ae91b71b5340bd8605b3197a33c154.Png,CD=1

AB=2773a1fabfcd4bf9bc851a25d78f6b83.Png=4

sinABC=84dec8390928436ab7a3e9a857a904d0.Png

故答案为42980a45a4a84eafac907cec457a2ebd.Png

24e1737423854955a75e43fa5b3baacb.Png 

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及直线与平面所成角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

 

16.(4分)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS,都有x+y,x﹣y,xyS,则称S为封闭集.下列命题:

集合S={a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)}为封闭集;

若S为封闭集,则一定有0S;

封闭集一定是无限集;

若S为封闭集,则满足STC的任意集合T也是封闭集.

其中真命题是 ①② .(写出所有真命题的序号)

 

【考点】16:子集与真子集;18:集合的包含关系判断及应用;A1:虚数单位i、复数.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;15:综合题;16:压轴题;23:新定义.

【分析】由题意直接验证即可判断正误;令x=y可推出是正确的;找出反例集合S={0},即可判断的错误.S={0},T={0,1},推出﹣1不属于T,判断是错误的.

【解答】解:两个复数的和是复数,两个复数的差也是复数,所以集合S={a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)}为封闭集,正确.

当S为封闭集时,因为x﹣yS,取x=y,得0S,正确

对于集合S={0},显然满足所有条件,但S是有限集,错误

取S={0},T={0,1},满足STC,但由于0﹣1=﹣1不属于T,故T不是封闭集,错误.

【点评】本题考查复数的基本概念,集合的子集,集合的包含关系判断及应用,是中档题.

 

三、解答题(共6小题,满分74分)

17.(12分)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为cf0f2d482cd84074890b86e52ff405e9.Png.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;

(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

 

【考点】C1:随机事件;CG:离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】(1)甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立,可利用独立事件的概率求解,甲中奖概率为f197c18592514eefa2a58a395ba3b181.Png,乙、丙没有中奖的概率为b691631975ca400f935699c34b7c194a.Png,相乘即可.

(2)中奖人数ξ的所有取值为0,1,2,3,是二项分布.ξB(3,4011c8d83dc743bdbe1d1a7d17a92446.Png

【解答】解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么

P(A)=P(B)=P(C)=ec595f9bf8cd4973bff8b3eda27929f6.Png

P(2d8913151f2d4cb0b2d5a9041c60d240.Png)=P(A)P(e760927b01d84a5788b8bf43d1697d91.Png)P(248dbdcde2f645f8963ddb2963bcc872.Png)=d3ab59ddad5e47d2afe9a44ff0e6615a.Png

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为17523377e8ce4b868aa93153cfd6733b.Png

 

(2)ξ的可能值为0,1,2,3,

P(ξ=k)=9947e62fc8584ef1a171e2eb71a0f587.Png(k=0,1,2,3)

所以中奖人数ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

 b77b9b16314b4859ba12b6631497e38a.Png

faf3b8b6ca11462189af6cb42594a3eb.Png 

2fe34f46793040b8897d2a5dbc60fa54.Png 

b5146e21e39b4abab7b8e2ef33af78a1.Png 

Eξ=0×017e5ea199af4edaad4578de1216eeb2.Png+1×59ea32e596924f1a8a7a6853e79479b2.Png+2×78b0202f68434edfba31f21efdce09c1.Png+3×3c2f8db4c18c4c66ab3b4758ab5e495c.Png=7cfbc6fc16654ecda3ccfccb95afc64a.Png

【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识.同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力.

 

18.(12分)已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.

(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;

(Ⅱ)求二面角M﹣BC′﹣B′的大小;

(Ⅲ)求三棱锥M﹣OBC的体积.

bcf6a5aff2bc412bbd76860de5c72b3f.Png 

 

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LN:异面直线的判定;LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;15:综合题;35:转化思想.

【分析】(Ⅰ)连接AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连接OK,证明MOAA′,MOBD′

OM是异面直线AA′和BD′都相交,即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;

(Ⅱ)取BB′中点N,连接MN,则MN平面BCC′B′,过点N作NHBC′于H,连接MH,说明MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角,解三角形求二面角M﹣BC′﹣B′的大小;

(Ⅲ)利用VM﹣OBC=VM﹣OA’D’=VO﹣MA’D’,求出SMA’D’以及O到平面MA′D′距离h,即可求三棱锥M﹣OBC的体积.

【解答】解:(Ⅰ)连接AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连接OK

因为M是棱AA′的中点,点O是BD′的中点

所以AM5218e0ce5c534415aceb3c48e9aa6ac8.Png

所以MOb7a9ed546055470991661d52e4ce2e7c.Png

 

由AA′AK,得MOAA′

因为AKBD,AKBB′,所以AK平面BDD′B′

所以AKBD′

所以MOBD′

又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线

(Ⅱ)取BB′中点N,连接MN,则MN平面BCC′B′

过点N作NHBC′于H,连接MH

则由三垂线定理得BC’MH

从而,MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角

MN=1,NH=BNsin45°=d5d1483dbb1f40cd8a61623d0b6d380b.Png

在RtMNH中,tanMHN=2df32fc3b77d41d79da5c94c7299e106.Png

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2a5b8410d1c8543a19a5fc6f476d15f9e.Png

(Ⅲ)易知,SOBC=SOA’D’,且OBC和OA′D′都在平面BCD′A′内

点O到平面MA′D′距离h=854327ebd8d24745b11c739ed602c3f9.Png

VM﹣OBC=VM﹣OA’D’=VO﹣MA’D’=5bd5af1bb54f4139bf9756491a00be4f.PngSMA’D’h=ea4da18379f34a8585a4ab1c82338f86.Png

68b13ffd19cd431093185d01ed413992.Png 

【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力.

 

19.(12分)(Ⅰ)证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ;由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

(Ⅱ)已知ABC的面积4538fd3541404e1793f0f9a17d612660.Png,且cbb1f55dbb8849d0b6b985b46154f886.Png,求cosC.

 

【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GP:两角和与差的三角函数.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;14:证明题.

【分析】(Ⅰ)建立单位圆,在单位圆中作出角,找出相应的单位圆上的点的坐标,由两点间距离公式建立方程化简整理既得;由诱导公式cos[0272407b6d784b8c9d1c12ca164bf685.Png﹣(α+β)]=sin(α+β)变形整理可得.

(Ⅱ)04a201a2eaa3426c97943bc0a340ff8b.Png,求出角A的正弦,再由9ecede49017c4d2293052542763af2e6.Png,用cosC=﹣cos(A+B)求解即可.

【解答】解:(Ⅰ)如图,在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与﹣β,使角α的始边为Ox,交O于点P1

终边交O于P2

角β的始边为OP2,终边交O于P3;角﹣β的始边为OP1,终边交O于P4

则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(﹣β),sin(﹣β))

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得

[cos(α+β)﹣1]2+sin2(α+β)=[cos(﹣β)﹣cosα]2+[sin(﹣β)﹣sinα]2

展开并整理得:2﹣2cos(α+β)=2﹣2(cosαcosβ﹣sinαsinβ)

cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ.(4分)

易得cos(5bbca451c59c4b68b0a4837c9546350b.Png﹣α)=sinα,sin(20ac2823868444c897f35b6aadb50969.Png﹣α)=cosα

sin(α+β)=cos[01851ca49f0d42de87096bcb23e967e0.Png﹣(α+β)]=cos[d877e38f93554514b8fb6b40789a57e1.Png﹣α)+(﹣β)]

=cos(2622f793f50e4498aac40533ddfecb92.Png﹣α)cos(﹣β)﹣sin(843ece6d41ba4731af0c936e2b06daf5.Png﹣α)sin(﹣β)

=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)

(Ⅱ)由题意,设ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S=c40f054e10304d88a9ff4cc5904606bd.PngbcsinA=538e808c4a2744e4ab74bc21131c3f60.Pngd2a3a08374164fd18cca8c564653d9ea.Png=bccosA=30

A(0,dc1d8924378b48f1939499be46e49aa5.Png),cosA=3sinA

又sin2A+cos2A=1,sinA=39556b8b81b3412ea28320b723caf571.Png,cosA=0dc65308592443e2bcc704a93d96ba78.Png

由题意,cosB=f79e9a272e8e4197827bde3e0f0e7242.Png,得sinB=98ed75d5e6be437a9ca95ae84bdbdcb5.Png

cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB=7f4fbde9bc9942ccbbae640b79db834a.Png

故cosC=cos[π﹣(A+B)]=﹣cos(A+B)=﹣33856731f76b4a25b6a93f5fe453edd3.Png(12分)

800151a04d2f499ea56b651e02910bdc.Png 

【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力.

 

20.(12分)已知定点A(﹣1,0),F(2,0),定直线l:x=63d8f0aadd904c1289719189110bfc4f.Png,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

 

【考点】KJ:圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题.

【分析】(Ⅰ)设P(x,y),欲求点P的轨迹方程,只须求出x,y之间的关系式即可,结合题中条件:“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得;

(Ⅱ)先分类讨论:当直线BC与x轴不垂直时;当直线BC与x轴垂直时,对于第种情形,设BC的方程为y=k(x﹣2),将直线的方程代入双曲线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论,从而解决问题.对于第种情形,由于直线方程较简单,直接代入计算即可验证.

【解答】解:(Ⅰ)设P(x,y),则78b9f9b18e6342dfb01a698001bfa196.Png

化简得x2c9ad22abe4d544b8b281ea26777034dd.Png=1(y0);

(Ⅱ)当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x﹣2)(k0)

与双曲线x2b9d359fbc09f4d37b5432dd25dbe1ec2.Png=1联立消去y得(3﹣k2)x2+4k2x﹣(4k2+3)=0

由题意知3﹣k20且△>0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则6d001e64fd6249c28ef7a27c56404d9d.Png

y1y2=k2(x1﹣2)(x2﹣2)=k2[x1x2﹣2(x1+x2+4]=k25a22b7e89b084bb78bb008379db29d23.Png+4)=9f51dae585e9474da4d08cf90f9b8c7c.Png

因为x1、x2﹣1,所以直线AB的方程为y=14d633a1443a4a65b37f6579f0ed42e3.Png(x+1)

因此M点的坐标为(fa51cd7c7b77499eaf5915f336c40826.Pngb9c1ad387efe4a9c981c01dc9c2884d2.Png

同理可得4cab256d9e07496ab38f79a1643850ed.Png

因此bfa2f07a40a5450c87e646eca523746c.Png=0b725d9153534c97af677fceb0fd6465.Png=0

当直线BC与x轴垂直时,直线方程为x=2,则B(2,3),C(2,﹣3)

AB的方程为y=x+1,因此M点的坐标为(0968fa31cf4e41cf9ffe480c8031ddab.Png),44db131099b44fb8a7a4e697bd17a1f5.Png

同理可得2272f5181e924a4b810ec339fc5f455e.Png

因此6760067af0294b30892beb67c4cb01fc.Png=0

综上47865a253667496a89c274dbdf50d4ec.Png=0,即FMFN

故以线段MN为直径的圆经过点F.

【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.

 

21.(12分)已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、nN*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2(m﹣n)2

(1)求a3,a5

(2)设bn=a2n+1﹣a2n﹣1(nN*),证明:{bn}是等差数列;

(3)设cn=(an+1﹣an)qn﹣1(q0,nN*),求数列{cn}的前n项和Sn

 

【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.菁优网版权所有

【专题】15:综合题;16:压轴题;35:转化思想.

【分析】(1)欲求a3,a5只需令m=2,n=1赋值即可.

(2)以n+2代替m,然后利用配凑得到bn+1﹣bn,和等差数列的定义即可证明.

(3)由(1)(2)两问的结果可以求得cn,利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn

【解答】解:(1)由题意,令m=2,n=1,可得a3=2a2﹣a1+2=6

再令m=3,n=1,可得a5=2a3﹣a1+8=20

(2)当nN*时,由已知(以n+2代替m)可得

a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8

于是[a2(n+1)+1﹣a2(n+1)﹣1]﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8

即bn+1﹣bn=8

所以{bn}是公差为8的等差数列

(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6,公差为8的等差数列

则bn=8n﹣2,即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2

另由已知(令m=1)可得

an=fb60162b9f65451984e83f96759415c9.Png﹣(n﹣1)2

那么an+1﹣an=37b9f5c5f38a4023a1bac922c0879f65.Png﹣2n+1=0244c46833df4a86872f0f7bbf56dadf.Png﹣2n+1=2n

于是cn=2nqn﹣1

当q=1时,Sn=2+4+6++2n=n(n+1)

当q1时,Sn=2•q0+4•q1+6•q2++2n•qn﹣1

两边同乘以q,可得

qSn=2•q1+4•q2+6•q3++2n•qn

上述两式相减得

(1﹣q)Sn=2(1+q+q2++qn﹣1)﹣2nqn

=2•4ed07b8dabea419f9af53d775d5aa89a.Png﹣2nqn

=2•78a40885fc134a309c5e735c2217e013.Png

所以Sn=2•8f34d4f4392e4156959508fc58d6f8d3.Png

综上所述,Sn=7ad448aeeaf84f82b50d54fc522f359b.Png

【点评】本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.同时考查了等差,等比数列的定义,通项公式,和数列求和的方法.

 

22.(14分)设f(x)=e22828039b7047008ed84fd29aadae5d.Png(a0且a1),g(x)是f(x)的反函数.

(1)设关于x的方程loga15efc871bd0540eaa6dfde2f26075db9.Png=g(x)在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;

(2)当a=e(e为自然对数的底数)时,证明:1725de684b4640599b1b6349a75414b3.Pngg(k)f7f57fcfe4794d4ea9de18b4ba115986.Png

(3)当0a1a04ae61f27e4cda89f434032fca231e.Png时,试比较|7f34f50390604ffd96c2cb86fe891747.Pngf(k)﹣n|与4的大小,并说明理由.

 

【考点】4R:反函数;57:函数与方程的综合运用;6D:利用导数研究函数的极值;R1:不等式.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;15:综合题;16:压轴题;35:转化思想.

【分析】(Ⅰ)求出g(x),7ab132b471ae4aa685392108810e618e.Png[2,6]上有实数解,求出t的表达式,利用导数确定t 的范围;

(Ⅱ)a=e求出e9feb75465844504ae0a8fdb92933709.Png,利用导数推出是增函数,求出最小值,即可证明adb4763514ae4b698144b332c3db3353.Png

(Ⅲ)利用放缩法,求出|e738772463a34301a4bfd5928fbafec6.Png|的取值范围,最后推出小于4即可.

【解答】解:(1)由题意,得ax=3305261e70df42ce940858add8105dcc.Png0

故g(x)=624052f2d2aa4b14a43729cef5581798.Png,x(﹣,﹣1)(1,+∞

a99b149911864d03891691121b87b9b6.Png得t=(x﹣1)2(7﹣x),x[2,6]

则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3(x﹣1)(x﹣5)

列表如下:

x

2

(2,5)

5

(5,6)

6

t'

 

+

 

 

t

5

递增

 

极大值32

递减

25

所以t最小值=5,t最大值=32

所以t的取值范围为[5,32](5分)

 

(Ⅱ)104c9524fdf14045a1a8e293d8569c20.Png

=ln(6040870e32c54ddc9d0b1209cb713e90.Png

=﹣ln4cafdb230bac44d1afc692f6cdd0f707.Png

令u(z)=﹣lnz2fba7ad7963484cb3b25f19fc1577ade2.Png=﹣2lnz+z﹣ee177476f1774da1a33015866255e2ee.Png,z0

则u′(z)=﹣115ca90c394947919a57cbcb5a554f5a.Png=(1﹣598d36e4c8ff42b1868006248ebbad96.Png20

所以u(z)在(0,+∞)上是增函数

又因为d60c2c12460749f78f6f7e3effdc798b.Png10,所以u(41738f0217cc4692a7244b5d659a2b46.Pngu(1)=0

即ln9dccd5d2d47241e3a73729e68014e9ff.Png0

f9eeaf5e9bc14ceaa449b88b081c791e.Png(9分)

 

(3)设a=35f80afa561a4b24b76e5cacd2b56605.Png,则p1,1f(1)=d8032b6782664e349e7649a6075dab9f.Png3,

当n=1时,|f(1)﹣1|=ee7df260b19747aeb5675f16b1b6b878.Png24,

当n2时,

设k2,kN*时,则f(k)=4647b62569eb4645a7766182e990c789.Png

=1+d0c28b07a8fb4c4ab24d0450b87aa7fd.Png

所以1f(k)1+cb2c642d4fad42e3a51230a6a960cf94.Png

从而n﹣1b21695352c9d449e833a913e8829fabb.Pngn﹣1+5b678ce02c6646db878bbc5c556416e2.Png=n+1﹣02f8ac67a68c45e8b24afa22a5fa8d72.Pngn+1,

所以n0a0064a060e14bcb8e0c3d53ca7511a8.Pngf(1)+n+1n+4,

综上所述,总有|f05d07a8f92a465c862f7e1f2e3179ca.Png﹣n|<4.

【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分类整合等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.

 

 

来源: 四川省地方志工作办公室
终审:何晓波
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