2008年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁_U（A∩B）=（　　）

A．{3}B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}

2．（5分）复数2i（1+i）²=（　　）

A．﹣4B．4 C．﹣4i D．4i 

3．（5分）（tanx+cotx）cos²x=（　　）

A．tanxB．sinx C．cosx D．cotx 

4．（5分）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）

A．B． C．y=3x﹣3 D． 

5．（5分）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（　　）

A．（，）B．（，π） C．（，） D．（，）

6．（5分）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（　　）

A．70种B．112种 C．140种 D．168种 

7．（5分）已知等比数列{a_n}中，a₂=1，则其前3项的和S₃的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 

C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 

8．（5分）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（　　）

A．3，5，6B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 

9．（5分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（　　）

A．1条B．2条 C．3条 D．4条 

10．（5分）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（　　）

A．f（0）=1B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 

11．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（　　）

A．13B．2 C． D． 

12．（5分）已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（　　）

A．4B．8 C．16 D．32 

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²的系数为　   　．

14．（4分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为　   　．

15．（4分）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于　   　．

16．（4分）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为　   　．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x的最大值与最小值．

18．（12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

19．（12分）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

20．（12分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n﹣2ⁿ=（b﹣1）S_n

（Ⅰ）证明：当b=2时，{a_n﹣n•2^n﹣1}是等比数列；

（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

21．（12分）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

22．（14分）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²﹣10x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

‎ 

2008年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁_U（A∩B）=（　　）

A．{3}B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．

【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；

所以C_U（A∩B）={1，2，4，5}，

故选：D．

【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．

2．（5分）复数2i（1+i）²=（　　）

A．﹣4B．4 C．﹣4i D．4i 

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【分析】先算（1+i）²，再算乘2i，化简即可．

【解答】解：∵2i（1+i）²=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i²=﹣4

故选：A．

【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i²=﹣1；是基础题．

3．（5分）（tanx+cotx）cos²x=（　　）

A．tanxB．sinx C．cosx D．cotx 

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有

【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．

【解答】解：∵

=

故选：D．

【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．

4．（5分）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）

A．B． C．y=3x﹣3 D． 

【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有

【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．

【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°

∴两直线互相垂直

则该直线为，

那么将向右平移1个单位得，即

故选：A．

【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．

5．（5分）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（　　）

A．（，）B．（，π） C．（，） D．（，） 

【考点】GA：三角函数线；HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．

【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，

∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，

∵0≤α≤2π，

∴﹣≤α﹣≤，

∵2sin（α﹣）＞0，

∴0＜α﹣＜π，

∴＜α＜．

故选：C．

【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．

6．（5分）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（　　）

A．70种B．112种 C．140种 D．168种 

【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．

【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C₁₀⁴种不同挑选方法；

从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C₈⁴种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C₁₀⁴﹣C₈⁴=210﹣70=140种不同挑选方法，

故选：C．

【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单．

7．（5分）已知等比数列{a_n}中，a₂=1，则其前3项的和S₃的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 

C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） 

【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有

【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S₃（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S₃的范围．

【解答】解：∵等比数列{a_n}中，a₂=1

∴

∴当公比q＞0时，；

当公比q＜0时，．

∴S₃∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

故选：D．

【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．

8．（5分）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（　　）

A．3，5，6B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 

【考点】L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．

【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r₁，r₂，r₃，球半径为R，则：

∴r₁²：r₂²：r₃²=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9

故选：D．

【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．

9．（5分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（　　）

A．1条B．2条 C．3条 D．4条 

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．

【解答】解：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件

故选：B．

【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；

数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；

10．（5分）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（　　）

A．f（0）=1B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案．

【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数

∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，

∴f′（0）=0

故选：D．

【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系．

11．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（　　）

A．13B．2 C． D． 

【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．

【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2

∴，，，，

∴，

∴

故选：C．

【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．

12．（5分）已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（　　）

A．4B．8 C．16 D．32 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x₀，y₀），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y₀），根据及AF=AB=x₀﹣（﹣2）=x₀+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．

【解答】解：∵抛物线C：y²=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2

∴K（﹣2，0）

设A（x₀，y₀），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y₀）

∵，又AF=AB=x₀﹣（﹣2）=x₀+2

∴由BK²=AK²﹣AB²得y₀²=（x₀+2）²，即8x₀=（x₀+2）²，解得A（2，±4）

∴△AFK的面积为

故选：B．

【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x₀是关键；

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²的系数为　﹣6　．

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】利用乘法原理找展开式中的含x²项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x²的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x²的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．

【解答】解：∵（1+2x）³（1﹣x）⁴展开式中x²项为

C₃⁰1³（2x）⁰•C₄²1²（﹣x）²+C₃¹1²（2x）¹•C₄¹1³（﹣x）¹+C₃²1²（2x）²•C₄⁰1⁴（﹣x）⁰

∴所求系数为C₃⁰•C₄²+C₃¹•2•C₄¹（﹣1）+C₃²•2²•C₄⁰1⁴=6﹣24+12=﹣6．

故答案为：﹣6．

【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．

14．（4分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为　　．

【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合．

【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．

【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；

∵圆C：（x﹣1）²+（y﹣1）²=2的圆心为C（1，1），半径为，

点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，

∴AD=CD﹣AC=2﹣=，

故C上各点到l的距离的最小值为．

故答案为：

【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．

15．（4分）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于　2　．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．

【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积．

【解答】解：：如图可知：∵

∴∴正四棱柱的体积等于=2

故答案为：2

【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．

16．（4分）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为　4　．

【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a₁的范围，a₄用d或a₁表示，再用不等式的性质求得其范围．

【解答】解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄≥10，S₅≤15，

∴，

即

∴

∴，5+3d≤6+2d，d≤1

∴a₄≤3+d≤3+1=4故a₄的最大值为4，

故答案为：4．

【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x的最大值与最小值．

【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）²+6，可设z═（u﹣1）²+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos²x﹣4cos⁴x=7﹣2sin2x+4cos²x（1﹣cos²x）=7﹣2sin2x+4cos²xsin²x=7﹣2sin2x+sin²2x=（1﹣sin2x）²+6

由于函数z=（u﹣1）²+6在[﹣1，1]中的最大值为z_max=（﹣1﹣1）²+6=10

最小值为z_min=（1﹣1）²+6=6

故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6

【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

18．（12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．

（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．

（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．

【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅰ）

=

=

=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5

（Ⅱ）

=

=0.5×0.4

=0.2

∴

（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），

故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2³=0.008

P（ξ=1）=C₃¹×0.8×0.2²=0.096

P（ξ=2）=C₃²×0.8²×0.2=0.384

P（ξ=3）=0.8³=0.512

所以Eξ=3×0.8=2.4

【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；

19．（12分）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

【考点】LJ：平面的基本性质及推论；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．

（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC得

延长FE交AB的延长线于G′

同理可得

故，即G与G′重合

因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．

（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2

取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF

故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直．

所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN

由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．

故

所以二面角A﹣ED﹣B的大小

【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．

20．（12分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n﹣2ⁿ=（b﹣1）S_n

（Ⅰ）证明：当b=2时，{a_n﹣n•2^n﹣1}是等比数列；

（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知a_n+1=2a_n+2^{n．由此可知}a_n+1﹣（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ﹣（n+1）•2ⁿ=2（a_n﹣n•2^n﹣1），所以{a_n﹣n•2^n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知a_n=（n+1）2^n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{a_n}的通项公式．

【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a₁﹣2=a₁，解得a₁=2，

且ba_n﹣2ⁿ=（b﹣1）S_n

ba_n+1﹣2ⁿ⁺¹=（b﹣1）S_n+1

两式相减得b（a_n+1﹣a_n）﹣2ⁿ=（b﹣1）a_n+1

即a_n+1=ba_n+2ⁿ①

当b=2时，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ

于是a_n+1﹣（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ﹣（n+1）•2ⁿ=2（a_n﹣n•2^n﹣1）

又a₁﹣1•2⁰=1≠0，所以{a_n﹣n•2^n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a_n﹣n•2^n﹣1=2^n﹣1，

即a_n=（n+1）2^n﹣1

当b≠2时，由①得

==

因此=

即

所以．

【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有S_n的递推公式的重要手段，使其转化为不含S_n的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．

21．（12分）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，

（Ⅰ）若，求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|²=（y₁﹣y₂）²=y₁²+y₂²﹣2y₁y₂≥﹣2y₁y₂﹣2y₁y₂=﹣4y₁y₂=6a²．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．

【解答】解：由a²﹣b²=c²与，得a²=2b²，，l的方程为

设

则

由得①

（Ⅰ）由，得②③

由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4

故

（Ⅱ）证明：|MN|²=（y₁﹣y₂）²=y₁²+y₂²﹣2y₁y₂≥﹣2y₁y₂﹣2y₁y₂=﹣4y₁y₂=6a²

当且仅当或时，|MN|取最小值

此时，

故与共线．

【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．

22．（14分）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²﹣10x的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题；44：数形结合法．

【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²﹣10x的一个极值点即求解．

（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x²﹣10x，x∈（﹣1，+∞），再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3），再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【解答】解：（Ⅰ）因为

所以

因此a=16

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²﹣10x，x∈（﹣1，+∞），

当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0

当x∈（1，3）时，f′（x）＜0

所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，

在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0

所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21

因此f（16）＞16²﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1），f（e^﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）

所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）

因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．